Câu 12.
Để tính , ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:
Trước tiên, ta cần tìm . Ta biết rằng:
Suy ra:
Thay các giá trị đã cho vào:
Bây giờ, ta cần tìm . Ta biết rằng:
Trong đó, .
Ta cũng biết rằng:
Từ đây suy ra:
Vì , ta có:
Biết rằng :
Cuối cùng, ta tính :
Vậy đáp án đúng là:
C. .
Câu 1:
a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ của I:
b) Bán kính của mặt cầu đường kính AB là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách IA:
Do đó, bán kính của mặt cầu là .
c) Phương trình mặt cầu đường kính AB với tâm I(0, 1, 3) và bán kính là:
d) Để kiểm tra xem mặt phẳng (P) có tiếp xúc với mặt cầu hay không, ta cần tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P) là:
Khoảng cách từ điểm I(0, 1, 3) đến mặt phẳng (P) là:
Ta thấy rằng khoảng cách này không bằng bán kính của mặt cầu (), do đó mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu.
Kết luận:
a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ là .
b) Bán kính của mặt cầu đường kính AB bằng .
c) Phương trình mặt cầu đường kính AB là .
d) Mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
Câu 2:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.
a) Vec tơ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng có dạng . Điều này cho thấy vec tơ chỉ phương của là . Do đó, mệnh đề này là đúng.
b) đi qua điểm
Đường thẳng có dạng tham số:
Ta thay tọa độ của điểm vào phương trình tham số của để kiểm tra:
-
- (sai)
Do đó, không đi qua điểm . Mệnh đề này là sai.
c) song song với
Để hai đường thẳng song song, vec tơ chỉ phương của chúng phải cùng phương hoặc tỉ lệ với nhau. Vec tơ chỉ phương của là và vec tơ chỉ phương của là . Ta thấy rằng hai vec tơ này không cùng phương vì không tồn tại số thực sao cho . Do đó, không song song với . Mệnh đề này là sai.
d) vuông góc với .
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng của vec tơ chỉ phương của chúng bằng 0. Ta tính tích vô hướng của vec tơ chỉ phương của và :
Tích vô hướng bằng 0, do đó vuông góc với . Mệnh đề này là đúng.
Kết luận: Các mệnh đề đúng là a) và d).
Đáp án: a) và d).
Câu 1:
Số cách chọn 1 viên bi xanh ở lần thứ nhất là 30.
Sau khi chọn 1 viên bi xanh ở lần thứ nhất thì số cách chọn 1 viên bi trắng ở lần thứ hai là 20.
Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là:
50 × 49 = 2450 (cách)
Xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là:
Đáp số: 0,24
Câu 2:
Gọi A là biến cố "Người đó mắc bệnh X".
Gọi B là biến cố "Người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".
Theo đề bài, ta có:
P(A) = 0,002
P() = 1 - P(A) = 0,998
P(B|A) = 1
P(B|) = 0,06
Xác suất người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là:
P(B) = P(A) × P(B|A) + P() × P(B|)
= 0,002 × 1 + 0,998 × 0,06
= 0,0608
Xác suất người đó mắc bệnh X khi có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là:
P(A|B) =
=
≈ 0,033
Vậy xác suất người đó mắc bệnh X là khoảng 0,033 hoặc 3,3%.
Câu 3:
Để tìm giá trị của sao cho đường thẳng đi qua điểm và song song với hai mặt phẳng và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng :
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến và . Ta tính tích vector của và :
- Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
3. Viết phương trình tham số của đường thẳng :
- Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là:
4. Xác định tọa độ của điểm trên đường thẳng :
- Thay vào phương trình tham số của , ta thấy luôn đúng với mọi .
- Thay vào phương trình tham số của :
- Thay vào phương trình :
Vậy giá trị của là .
Đáp số: .