giúp mình với ạ Câu 2 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}$ (với $x\geq0;x
e4).$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Với $x4,$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=A\sqrt x.$

Question

giúp mình với ạ Câu 2 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}$ (với $x\geq0;x
e4).$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Với $x>4,$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=A\sqrt x.$

Accepted Answer

Câu 2
a) Rút gọn biểu thức $A$:
Điều kiện xác định: $x \geq 0; x \neq 4$.
Ta có:
$$ A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$
Nhận thấy rằng $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$, ta có thể viết lại biểu thức như sau:
$$ A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
Tìm mẫu chung và quy đồng:
$$ A = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} $$
$$ A = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{x - 4} $$
$$ A = \frac{x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 + 5\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$
$$ A = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} $$
$$ A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = A \sqrt{x}$ với $x > 4$:
$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \cdot \sqrt{x} = \frac{x}{\sqrt{x} - 2} $$
Đặt $t = \sqrt{x}$, ta có $t > 2$ và:
$$ B = \frac{t^2}{t - 2} $$
$$ B = t + 2 + \frac{4}{t - 2} $$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ t - 2 + \frac{4}{t - 2} \geq 2\sqrt{(t - 2) \cdot \frac{4}{t - 2}} = 4 $$
Do đó:
$$ B = t + 2 + \frac{4}{t - 2} \geq 2 + 4 = 6 $$
Dấu bằng xảy ra khi $t - 2 = \frac{4}{t - 2}$, tức là $t = 4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là 6, đạt được khi $t = 4$, tức là $x = 16$.

Đáp số:
a) $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$
b) Giá trị nhỏ nhất của $B$ là 6, đạt được khi $x = 16$.