giải chi tiết I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lới từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^3.$ Phát biểu nào sau đây đúng?,$A.~f(x)=3x^2.$ $B.~f(x)=4x^3.$ $ extcircled{C.}~f(x)=\frac{x^4}4+C.$ $D.~f(x)=\frac{x^4}3+C.$,Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=8\cos x+x$ là,$ extcircled{A.}~-8\cos x+\frac12x^2+C.$ $B.~-8\sin x+\frac12x^2+C.$ $C.~8\cos x+\frac12x^2+C.$ $D.~8\sin x+\frac12x^2+C.$,Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Gọi D là hình phẳng giới hạn vởi đồ thị,hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b~(a

Question

giải chi tiết I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lới từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=x^3.$ Phát biểu nào sau đây đúng?,$A.~f(x)=3x^2.$ $B.~f(x)=4x^3.$ $	extcircled{C.}~f(x)=\frac{x^4}4+C.$ $D.~f(x)=\frac{x^4}3+C.$,Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=8\cos x+x$ là,$	extcircled{A.}~-8\cos x+\frac12x^2+C.$ $B.~-8\sin x+\frac12x^2+C.$ $C.~8\cos x+\frac12x^2+C.$ $D.~8\sin x+\frac12x^2+C.$,Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Gọi D là hình phẳng giới hạn vởi đồ thị,hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b~(a<b).$ Tính thể tích khối,tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành là,$	extcircled{A.}~V=\pi\int^b_a[f(x)]^2dx.$ $B.~V=2\pi\int^b_a[f(x)]^2dx.$,$C.~V=\pi^2\int^b_a[f(x)]^2dx.$ $D.~V=\pi^2\int^b_af(x)dx.$,Câu 4: Cho $\int^1_0f(x)dx=-1;\int^3_0f(x)dx=5.$ Tính $\int^3_1f(x)dx.\int^3_0=\int^1_0+\int^3_{13}$,A. 5. B. 4. C. 6. D. 1.,Câu 5: Tính $\int^1_0(e^x+x+2)dx.4.21$,$A.~e+2.$ $B.~e-2.$ $C.~e+\frac32.$ $D.~e-\frac32.$,Câu 6: Trong không gian Oxyz, đường thẳng d qua $M(0;-5;5)$ và $N(8;7;8).$ d có vectơ chỉ,phương là,$A.~\overrightarrow u=(-126;70;56)$ $B.~\overrightarrow u=(6;2;11)$ $C.~\overrightarrow u=(-8;-12;-3)$ $D.~\overrightarrow u=(-2;-10;8)$,Câu 7: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(P):~3x+3y-z-30=0$ có vectơ pháp tuyến là,$A.~\overrightarrow n=(7;6;-2)$ $B.~\overrightarrow n=(6;6;-2)$ $C.~\overrightarrow n=(6;5;-2)$ $D.~\overrightarrow n=(6;6;0)$,Câu 8: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ $O(0;0)?$,$A.~x+y+z=0$ $B.~x+y+z=2024$ $C.~x-y+z-1=0$ $D.~x+y+z=2025$,Câu 9: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-4=0$ đi qua điểm nào sau đây?,$A,~Q(1;-1;1).$ $B.~N(0;2;0).$ $C.~P(0;0;-4).$ $D.~M(1;0;0).$,Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+2y+2z+3=0$ và mặt phẳng,$(Q):~3x-4y+5=0.$ Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính giá trị $\cos\alpha.$,$	extcircled{A.}~\cos\alpha=\frac13.$ $B.~\cos\alpha=-\frac13.$ $C.~\cos\alpha=-\frac{11}{15}.$ $D.~\cos\alpha=\frac{11}{15}.$,Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho $(S):~x^2+y^2+z^2-4x-2y+8z+17=0.$ Mặt cầu (S) có tọa độ,tâm I là,$A.~I(-2;-1;4)$ $B.~I(4;-4;-7)$ $	extcircled{C.}~I(2;1;-4)$ $D.~I(-4;4;7)$

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ y = x^3 $, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Trong đó, $ n = 3 $. Do đó:

$$ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ y = x^3 $ là:

$$ f(x) = \frac{x^4}{4} + C $$

Do đó, phát biểu đúng là:

C. $ f(x) = \frac{x^4}{4} + C $

Đáp án: C. $ f(x) = \frac{x^4}{4} + C $

Câu 2:
Để tìm họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 8\cos x + x $, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.

Bước 1: Tính nguyên hàm của $ 8\cos x $.

Ta biết rằng:
$$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $$

Do đó:
$$ \int 8\cos x \, dx = 8 \int \cos x \, dx = 8 \sin x + C_1 $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của $ x $.

Ta biết rằng:
$$ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm nguyên hàm tổng của hàm số $ f(x) $.

$$ \int (8\cos x + x) \, dx = \int 8\cos x \, dx + \int x \, dx $$
$$ = 8 \sin x + C_1 + \frac{x^2}{2} + C_2 $$

Chúng ta có thể gộp hai hằng số $ C_1 $ và $ C_2 $ thành một hằng số duy nhất $ C $:
$$ = 8 \sin x + \frac{x^2}{2} + C $$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 8\cos x + x $ là:
$$ 8 \sin x + \frac{x^2}{2} + C $$

Đáp án đúng là:
D. $ 8 \sin x + \frac{x^2}{2} + C $.

Câu 3:
Khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ quanh trục hoành, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính bằng công thức:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Lý do:
- Khi quay một dải mỏng rộng $ dx $ quanh trục hoành, nó tạo thành một hình trụ mỏng với diện tích đáy là $ \pi [f(x)]^2 $ và chiều cao là $ dx $.
- Thể tích của hình trụ mỏng này là $ \pi [f(x)]^2 \, dx $.
- Để tìm thể tích tổng của khối tròn xoay, ta tích phân thể tích của tất cả các hình trụ mỏng này từ $ x = a $ đến $ x = b $.

Do đó, đáp án đúng là:

A. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $

Đáp án: A. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $

Câu 4:
Để tính $\int^3_1 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân như sau:

$$
\int^3_0 f(x) dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^3_1 f(x) dx
$$

Biết rằng:

$$
\int^1_0 f(x) dx = -1
$$
$$
\int^3_0 f(x) dx = 5
$$

Thay các giá trị này vào phương trình trên, ta có:

$$
5 = -1 + \int^3_1 f(x) dx
$$

Giải phương trình này để tìm $\int^3_1 f(x) dx$:

$$
\int^3_1 f(x) dx = 5 + 1 = 6
$$

Vậy đáp án đúng là:

C. 6.

Câu 5:
Để tính $\int^1_0(e^x + x + 2) \, dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong tích phân:
$$
\int (e^x + x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int x \, dx + \int 2 \, dx
$$

Bước 2: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$
\int e^x \, dx = e^x
$$
$$
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
$$
$$
\int 2 \, dx = 2x
$$

Bước 3: Kết hợp lại để có nguyên hàm tổng:
$$
\int (e^x + x + 2) \, dx = e^x + \frac{x^2}{2} + 2x + C
$$

Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm đã tìm được:
$$
\left[ e^x + \frac{x^2}{2} + 2x \right]^1_0
$$

Bước 5: Thay giá trị cận trên và cận dưới vào biểu thức:
$$
= \left( e^1 + \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( e^0 + \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right)
$$
$$
= \left( e + \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( 1 + 0 + 0 \right)
$$
$$
= e + \frac{1}{2} + 2 - 1
$$
$$
= e + \frac{1}{2} + 1
$$
$$
= e + \frac{3}{2}
$$

Vậy đáp án đúng là:
C. $e + \frac{3}{2}$

Đáp số: $e + \frac{3}{2}$

Câu 6:
Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $M(0; -5; 5)$ và $N(8; 7; 8)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ $\overrightarrow{MN}$:
   $$
   \overrightarrow{MN} = N - M = (8 - 0, 7 - (-5), 8 - 5) = (8, 12, 3)
   $$

2. Kiểm tra các đáp án:
   - Đáp án A: $\overrightarrow{u} = (-126, 70, 56)$
     Ta thấy rằng $(-126, 70, 56)$ không phải là bội của $(8, 12, 3)$.

- Đáp án B: $\overrightarrow{u} = (6, 2, 11)$
     Ta thấy rằng $(6, 2, 11)$ không phải là bội của $(8, 12, 3)$.

- Đáp án C: $\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)$
     Ta thấy rằng $(-8, -12, -3)$ là bội của $(8, 12, 3)$ với hệ số $-1$:
     $$
     (-8, -12, -3) = -1 \times (8, 12, 3)
     $$
     Do đó, $\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

- Đáp án D: $\overrightarrow{u} = (-2, -10, 8)$
     Ta thấy rằng $(-2, -10, 8)$ không phải là bội của $(8, 12, 3)$.

Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)$.

Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{u} = (-8, -12, -3)$.

Câu 7:
Mặt phẳng $(P):~3x+3y-z-30=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3, 3, -1)$.

Ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án B đúng là bội của $\overrightarrow{n} = (3, 3, -1)$.

Cụ thể:
- Đáp án A: $\overrightarrow{n} = (7, 6, -2)$ không phải là bội của $(3, 3, -1)$.
- Đáp án B: $\overrightarrow{n} = (6, 6, -2)$ là bội của $(3, 3, -1)$ vì $(6, 6, -2) = 2 \times (3, 3, -1)$.
- Đáp án C: $\overrightarrow{n} = (6, 5, -2)$ không phải là bội của $(3, 3, -1)$.
- Đáp án D: $\overrightarrow{n} = (6, 6, 0)$ không phải là bội của $(3, 3, -1)$.

Vậy đáp án đúng là B. $\overrightarrow{n} = (6, 6, -2)$.

Câu 8:
Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn đã cho đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $, ta thay tọa độ của điểm $ O $ vào phương trình của mỗi mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình đó có đúng hay không.

A. $ x + y + z = 0 $
Thay $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
$$ 0 + 0 + 0 = 0 $$
Phương trình này đúng, do đó mặt phẳng $ x + y + z = 0 $ đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $.

B. $ x + y + z = 2024 $
Thay $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
$$ 0 + 0 + 0 = 2024 $$
Phương trình này sai, do đó mặt phẳng $ x + y + z = 2024 $ không đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $.

C. $ x - y + z - 1 = 0 $
Thay $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
$$ 0 - 0 + 0 - 1 = 0 $$
Phương trình này sai, do đó mặt phẳng $ x - y + z - 1 = 0 $ không đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $.

D. $ x + y + z = 2025 $
Thay $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
$$ 0 + 0 + 0 = 2025 $$
Phương trình này sai, do đó mặt phẳng $ x + y + z = 2025 $ không đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $.

Vậy, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $ O(0,0,0) $ là:
A. $ x + y + z = 0 $

Đáp án: A. $ x + y + z = 0 $

Câu 9:
Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không.

A. Thay tọa độ điểm $Q(1; -1; 1)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$ 1 - 2(-1) + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0 $$
Phương trình thỏa mãn, vậy điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

B. Thay tọa độ điểm $N(0; 2; 0)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$ 0 - 2(2) + 0 - 4 = 0 - 4 - 4 = -8 \neq 0 $$
Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

C. Thay tọa độ điểm $P(0; 0; -4)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$ 0 - 2(0) - 4 - 4 = 0 - 0 - 4 - 4 = -8 \neq 0 $$
Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

D. Thay tọa độ điểm $M(1; 0; 0)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$ 1 - 2(0) + 0 - 4 = 1 - 0 + 0 - 4 = -3 \neq 0 $$
Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $Q(1; -1; 1)$.

Câu 10:
Để tính giá trị của $\cos\alpha$, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Mặt phẳng $(P):~x + 2y + 2z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$.
- Mặt phẳng $(Q):~3x - 4y + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (3, -4, 0)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.
$$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 = 3 - 8 + 0 = -5 $$

Bước 3: Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến.
$$ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$
$$ |\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 $$

Bước 4: Áp dụng công thức tính $\cos\alpha$.
$$ \cos\alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-5}{3 \cdot 5} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $$

Vậy giá trị của $\cos\alpha$ là:
$$ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $$

Đáp án đúng là: B. $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$.

Câu 11:
Để tìm tọa độ tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-4x-2y+8z+17=0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương:

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương.

$$
x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 + 8z + 17 = 0
$$

2. Hoàn thành bình phương:

- Với $x^2 - 4x$, ta thêm và bớt $4$ để hoàn thành bình phương:
$$
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
$$

- Với $y^2 - 2y$, ta thêm và bớt $1$ để hoàn thành bình phương:
$$
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
$$

- Với $z^2 + 8z$, ta thêm và bớt $16$ để hoàn thành bình phương:
$$
z^2 + 8z = (z + 4)^2 - 16
$$

3. Thay vào phương trình ban đầu:

$$
(x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 4)^2 - 16 + 17 = 0
$$

4. Rút gọn phương trình:

$$
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 - 4 - 1 - 16 + 17 = 0
$$
$$
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 - 4 = 0
$$
$$
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 4
$$

5. Nhận diện phương trình mặt cầu:

Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$.

Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là $I(2, 1, -4)$.

Vậy đáp án đúng là:

C. $I(2, 1, -4)$.