.............. $b)~\frac1{x^2-5x+6}+\frac1{x^2-7x+12}+\frac1{x^2-9x+20}+\frac1{x^2-11x+30}=\frac18.$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \neq 2, 3, 4, 5, 6 $.

Ta có:
$$ \frac{1}{x^2 - 5x + 6} + \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x^2 - 9x + 20} + \frac{1}{x^2 - 11x + 30} = \frac{1}{8}. $$

Nhận thấy rằng:
$$ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), $$
$$ x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4), $$
$$ x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5), $$
$$ x^2 - 11x + 30 = (x-5)(x-6). $$

Do đó, phương trình trở thành:
$$ \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1}{(x-4)(x-5)} + \frac{1}{(x-5)(x-6)} = \frac{1}{8}. $$

Ta sử dụng phương pháp phân tích thành tổng các phân số riêng lẻ:
$$ \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}, $$
$$ \frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-3}, $$
$$ \frac{1}{(x-4)(x-5)} = \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-4}, $$
$$ \frac{1}{(x-5)(x-6)} = \frac{1}{x-6} - \frac{1}{x-5}. $$

Kết hợp lại ta có:
$$ \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} \right) + \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-3} \right) + \left( \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-4} \right) + \left( \frac{1}{x-6} - \frac{1}{x-5} \right) = \frac{1}{8}. $$

Các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, còn lại:
$$ \frac{1}{x-6} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{8}. $$

Tìm chung mẫu số:
$$ \frac{(x-2) - (x-6)}{(x-6)(x-2)} = \frac{1}{8}, $$
$$ \frac{4}{(x-6)(x-2)} = \frac{1}{8}. $$

Bằng cách nhân cả hai vế với 8, ta có:
$$ \frac{32}{(x-6)(x-2)} = 1, $$
$$ (x-6)(x-2) = 32. $$

Phương trình bậc hai:
$$ x^2 - 8x + 12 = 32, $$
$$ x^2 - 8x - 20 = 0. $$

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:
$$ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}, $$
$$ x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2}, $$
$$ x = \frac{8 \pm 12}{2}. $$

Vậy:
$$ x = 10 \text{ hoặc } x = -2. $$

Kiểm tra điều kiện xác định, ta thấy $ x = 10 $ thỏa mãn điều kiện $ x \neq 2, 3, 4, 5, 6 $.

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 10 $.