Ndhshdbjsdndjjd 5 C.6. $0.2\sqrt2$,Câu 12: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P):~2x-y+2x+12x+12x)$,bằng,A. 12. B. 1 $c.\frac15$ D. 4,Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Ohyz , cho hai mặt phẳng song song $(P)~2x+y-2x-1=0$,$(Q):~6x+3y-6z+15=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P),(Q) bằng,A. 2. $B.~\frac43.$ $c.\frac{16}9$ $0.\frac{16}3$,Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Ohyz , cho hai mặt phẳng $(P):~x-2y+2x-1=0$ và,$(Q):~2x+2y-z-3=0.$ Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính coso,$A.~-\frac49.$ $B.~\frac49.$ $c.\frac23$ $D.~-\frac23.$,Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng,$(P):~2x+y-2z-4=0$ và $(Q):~x-2y+2z+6=0$ Tính khoảng cách h từ điểm $M(1;0;1)$ đến,đường thẳng d .,$A.~h=3.$ $B.~h=6.$ $C.~A=9.$ $D.~A=1.$,Câu 16: Trong không gian với hệ trục Oxyz , gọi a là góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-z+2=0$ v,$(Q):~2x-y-z+4=0.$ Tính cosa.,$A.~\cos a=\frac23.$ $B.~\cos a=\frac34.$ $C.~\cos a=\frac16$ $D.~\cos\alpha=\frac13$,Câu 17: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng $(O\in)$ và $(P):~x-y+1=0$ bằng,$A.~60^0.$ $B.~135^0.$ $C.~48^0$ $B.~90^0$,Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(1;2;3).$ Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox xằng,$A.~\sqrt4.$ $B.~\sqrt{13}.$ $C.~\sqrt{10}.$ $D.~\sqrt5$,Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (Oyz)b bằng:,$A.~90^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~45^0.$,Câu 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}lx=-2t\y=6+t\z=1-3t\end{array} ight.$,và mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+12=0.$ Tìm sin của góc giữa d và (P)?,$A.~0^0.$ B. 1. C. 0. D. 90".

Question

Ndhshdbjsdndjjd 5 C.6. $0.2\sqrt2$,Câu 12: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P):~2x-y+2x+12x+12x)$,bằng,A. 12. B. 1 $c.\frac15$ D. 4,Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Ohyz , cho hai mặt phẳng song song $(P)~2x+y-2x-1=0$,$(Q):~6x+3y-6z+15=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P),(Q) bằng,A. 2. $B.~\frac43.$ $c.\frac{16}9$ $0.\frac{16}3$,Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Ohyz , cho hai mặt phẳng $(P):~x-2y+2x-1=0$ và,$(Q):~2x+2y-z-3=0.$ Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính coso,$A.~-\frac49.$ $B.~\frac49.$ $c.\frac23$ $D.~-\frac23.$,Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng,$(P):~2x+y-2z-4=0$ và $(Q):~x-2y+2z+6=0$ Tính khoảng cách h từ điểm $M(1;0;1)$ đến,đường thẳng d .,$A.~h=3.$ $B.~h=6.$ $C.~A=9.$ $D.~A=1.$,Câu 16: Trong không gian với hệ trục Oxyz , gọi a là góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-z+2=0$ v,$(Q):~2x-y-z+4=0.$ Tính cosa.,$A.~\cos a=\frac23.$ $B.~\cos a=\frac34.$ $C.~\cos a=\frac16$ $D.~\cos\alpha=\frac13$,Câu 17: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng $(O\in)$ và $(P):~x-y+1=0$ bằng,$A.~60^0.$ $B.~135^0.$ $C.~48^0$ $B.~90^0$,Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(1;2;3).$ Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox xằng,$A.~\sqrt4.$ $B.~\sqrt{13}.$ $C.~\sqrt{10}.$ $D.~\sqrt5$,Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (Oyz)b bằng:,$A.~90^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~45^0.$,Câu 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}lx=-2t\y=6+t\z=1-3t\end{array}ight.$,và mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+12=0.$ Tìm sin của góc giữa d và (P)?,$A.~0^0.$ B. 1. C. 0. D. 90".

Accepted Answer

Câu 12:
Đầu tiên, ta viết lại phương trình mặt phẳng $(P)$ dưới dạng chuẩn:
$$ (P): 2x - y + 2z + 12 = 0 $$

Khoảng cách từ điểm $O(0,0,0)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính theo công thức:
$$ d(O, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$
Trong đó, $A = 2$, $B = -1$, $C = 2$, $D = 12$, và $O(0,0,0)$.

Thay vào công thức:
$$ d(O, (P)) = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 12|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} $$
$$ d(O, (P)) = \frac{|12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} $$
$$ d(O, (P)) = \frac{12}{\sqrt{9}} $$
$$ d(O, (P)) = \frac{12}{3} $$
$$ d(O, (P)) = 4 $$

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là 4.

Đáp án đúng là: D. 4.

Câu 13:
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ trong không gian, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình của hai mặt phẳng:
- Mặt phẳng $(P)$: $2x + y - 2z - 1 = 0$
- Mặt phẳng $(Q)$: $6x + 3y - 6z + 15 = 0$

Bước 2: Chuyển đổi phương trình của mặt phẳng $(Q)$ về dạng tương tự mặt phẳng $(P)$ để dễ dàng so sánh:
- Chia cả hai vế của phương trình $(Q)$ cho 3:
$$ 6x + 3y - 6z + 15 = 0 $$
$$ \Rightarrow 2x + y - 2z + 5 = 0 $$

Bước 3: Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $ax + by + cz + d_1 = 0$ và $ax + by + cz + d_2 = 0$ là:
$$ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng công thức này vào hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$:
- $a = 2$, $b = 1$, $c = -2$
- $d_1 = -1$ (từ phương trình $(P)$)
- $d_2 = 5$ (từ phương trình $(Q)$)

Bước 4: Tính khoảng cách:
$$ d = \frac{|5 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} $$
$$ d = \frac{|5 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} $$
$$ d = \frac{6}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{6}{3} $$
$$ d = 2 $$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là 2.

Đáp án đúng là: A. 2.

Câu 14:
Để tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta làm theo các bước sau:

1. Xác định các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z - 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, -2, 2)$.
   - Mặt phẳng $(Q): 2x + 2y - z - 3 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_2 = (2, 2, -1)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến:
   $$
   \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 - 4 - 2 = -4
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vector pháp tuyến:
   $$
   |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   |\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng:
   $$
   \cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9}
   $$

Vậy, cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là:
$$
\cos \alpha = -\frac{4}{9}
$$

Đáp án đúng là: A. $-\frac{4}{9}$.

Câu 15:
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(1;0;1) $ đến đường thẳng $ d $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ (P): 2x + y - 2z - 4 = 0 $ và $ (Q): x - 2y + 2z + 6 = 0 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ \vec{n}_1 = (2, 1, -2) $.
   - Mặt phẳng $ (Q) $ có vectơ pháp tuyến $ \vec{n}_2 = (1, -2, 2) $.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ là vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $. Ta tính tích vector của $ \vec{n}_1 $ và $ \vec{n}_2 $:
   $$
   \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = 
   \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   2 & 1 & -2 \
   1 & -2 & 2
   \end{vmatrix}
   = \vec{i}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot (-2)) - \vec{j}(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1)
   = \vec{i}(2 - 4) - \vec{j}(4 + 2) + \vec{k}(-4 - 1)
   = -2\vec{i} - 6\vec{j} - 5\vec{k}
   = (-2, -6, -5)
   $$

3. Tìm một điểm trên đường thẳng $ d $:
   Để tìm một điểm trên đường thẳng $ d $, ta chọn $ z = 0 $ và giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   2x + y - 4 = 0 \
   x - 2y + 6 = 0
   \end{cases}
   $$
   Từ phương trình thứ nhất, ta có $ y = 4 - 2x $. Thay vào phương trình thứ hai:
   $$
   x - 2(4 - 2x) + 6 = 0 \implies x - 8 + 4x + 6 = 0 \implies 5x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5}
   $$
   Thay $ x = \frac{2}{5} $ vào $ y = 4 - 2x $:
   $$
   y = 4 - 2 \left(\frac{2}{5}\right) = 4 - \frac{4}{5} = \frac{20}{5} - \frac{4}{5} = \frac{16}{5}
   $$
   Vậy điểm $ A \left( \frac{2}{5}, \frac{16}{5}, 0 \right) $ nằm trên đường thẳng $ d $.

4. Tính khoảng cách từ điểm $ M(1, 0, 1) $ đến đường thẳng $ d $:
   Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian:
   $$
   h = \frac{\| \vec{AM} \times \vec{d} \|}{\| \vec{d} \|}
   $$
   Trong đó:
   $$
   \vec{AM} = M - A = \left( 1 - \frac{2}{5}, 0 - \frac{16}{5}, 1 - 0 \right) = \left( \frac{3}{5}, -\frac{16}{5}, 1 \right)
   $$
   Tính tích vector $ \vec{AM} \times \vec{d} $:
   $$
   \vec{AM} \times \vec{d} = 
   \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   \frac{3}{5} & -\frac{16}{5} & 1 \
   -2 & -6 & -5
   \end{vmatrix}
   = \vec{i} \left( -\frac{16}{5} \cdot (-5) - 1 \cdot (-6) \right) - \vec{j} \left( \frac{3}{5} \cdot (-5) - 1 \cdot (-2) \right) + \vec{k} \left( \frac{3}{5} \cdot (-6) - (-\frac{16}{5}) \cdot (-2) \right)
   = \vec{i} \left( 16 + 6 \right) - \vec{j} \left( -3 + 2 \right) + \vec{k} \left( -\frac{18}{5} - \frac{32}{5} \right)
   = 22\vec{i} + \vec{j} - 10\vec{k}
   = (22, 1, -10)
   $$
   Tính độ dài của $ \vec{AM} \times \vec{d} $:
   $$
   \| \vec{AM} \times \vec{d} \| = \sqrt{22^2 + 1^2 + (-10)^2} = \sqrt{484 + 1 + 100} = \sqrt{585}
   $$
   Tính độ dài của $ \vec{d} $:
   $$
   \| \vec{d} \| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 36 + 25} = \sqrt{65}
   $$
   Cuối cùng, khoảng cách $ h $ là:
   $$
   h = \frac{\sqrt{585}}{\sqrt{65}} = \sqrt{\frac{585}{65}} = \sqrt{9} = 3
   $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(1, 0, 1) $ đến đường thẳng $ d $ là $ h = 3 $.

Đáp án đúng là: A. $ h = 3 $.

Câu 16:
Để tính $\cos a$, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$.
- Mặt phẳng $(Q): 2x - y - z + 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_2} = (2, -1, -1)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.
$$ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 2 - 2 + 1 = 1 $$

Bước 3: Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến.
$$ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} $$
$$ |\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} $$

Bước 4: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ.
$$ \cos a = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6} $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $\cos a = \frac{1}{6}$

Đáp số: $\cos a = \frac{1}{6}$

Câu 17:
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(P): x - y + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.
   - Mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $x - y + 1 = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n_2} = (1, -1, 0)$.

2. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
   Góc giữa hai vectơ pháp tuyến sẽ bằng góc giữa hai mặt phẳng. Ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}
   $$
   - Tích vô hướng $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:
     $$
     \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (1, -1, 0) = 0 \times 1 + 0 \times (-1) + 1 \times 0 = 0
     $$
   - Độ dài của $\vec{n_1}$:
     $$
     |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
     $$
   - Độ dài của $\vec{n_2}$:
     $$
     |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
     $$

Thay vào công thức:
   $$
   \cos \theta = \frac{0}{1 \times \sqrt{2}} = 0
   $$

3. Xác định góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^\circ
   $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(P)$ là $90^\circ$.

Đáp án đúng là: D. $90^\circ$.

Câu 18:
Để tìm khoảng cách từ điểm $ A(1;2;3) $ đến trục Ox, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm trên trục Ox gần nhất với điểm $ A $:
   - Điểm trên trục Ox có dạng $ (x, 0, 0) $.

2. Tìm khoảng cách giữa điểm $ A(1;2;3) $ và điểm $ (x, 0, 0) $:
   - Khoảng cách giữa hai điểm $ (x_1, y_1, z_1) $ và $ (x_2, y_2, z_2) $ trong không gian là:
     $$
     d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
     $$
   - Áp dụng vào bài toán:
     $$
     d = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2}
     $$
     $$
     d = \sqrt{(x - 1)^2 + 4 + 9}
     $$
     $$
     d = \sqrt{(x - 1)^2 + 13}
     $$

3. Tìm giá trị của $ x $ để khoảng cách này nhỏ nhất:
   - Ta thấy rằng $ (x - 1)^2 \geq 0 $ với mọi $ x $, do đó $ (x - 1)^2 + 13 $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ (x - 1)^2 = 0 $, tức là $ x = 1 $.

4. Thay $ x = 1 $ vào công thức khoảng cách:
   - Khi $ x = 1 $:
     $$
     d = \sqrt{(1 - 1)^2 + 13} = \sqrt{0 + 13} = \sqrt{13}
     $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ A(1;2;3) $ đến trục Ox là $ \sqrt{13} $.

Đáp án đúng là: B. $ \sqrt{13} $.

Câu 19:
Góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (Oyz) chính là góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng.

- Mặt phẳng (Oxz) có trục Oz là giao tuyến với mặt phẳng (Oyz).
- Trên mặt phẳng (Oxz), ta chọn đường thẳng Oz.
- Trên mặt phẳng (Oyz), ta cũng chọn đường thẳng Oz.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (Oyz) chính là góc giữa hai đường thẳng Oz và Oz, tức là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (Oyz) là:
$$ 90^\circ $$

Đáp án đúng là: A. $90^\circ$.

Câu 20:
Để tìm sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   - Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{\begin{array}lx=-2t\y=6+t\z=1-3t\end{array}\right.$. Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (-2, 1, -3)$.
   - Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x - y + 3z + 12 = 0$. Từ đây, ta thấy vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (2, -1, 3)$.

2. Tính cos của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   - Công thức tính cos của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{n}$ là:
     $$
     \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
     $$
   - Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
     $$
     \vec{u} \cdot \vec{n} = (-2) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 = -4 - 1 - 9 = -14
     $$
   - Độ dài của $\vec{u}$:
     $$
     |\vec{u}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}
     $$
   - Độ dài của $\vec{n}$:
     $$
     |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}
     $$
   - Vậy:
     $$
     \cos \theta = \frac{-14}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-14}{14} = -1
     $$

3. Tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   - Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta biết rằng:
     $$
     \sin \alpha = |\cos \theta|
     $$
   - Vì $\cos \theta = -1$, nên:
     $$
     \sin \alpha = |-1| = 1
     $$

Vậy, sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là 1.

Đáp án đúng là: B. 1.