Cho các hàm số y = x ^ 2 có đồ thị là (P) và y = - 2x + 1 m có đồ thị là (d). a) Với m = 3 hãy tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). b) Tìm m để (p) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn y...

Trần Tiến Đạt

Ta có:

• (P): y = x²
• (d): y = -2x + m

a) Với m = 3, ta có (d): y = -2x + 3

Tìm giao điểm của (P) và (d):

⇒ x² = -2x + 3

⇔ x² + 2x - 3 = 0

⇔ (x + 3)(x - 1) = 0

⇒ x = -3 hoặc x = 1

Thay vào y = x²:

• Với x = -3 ⇒ y = 9
• Với x = 1 ⇒ y = 1

Vậy hai giao điểm là: (-3, 9) và (1, 1)

b) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn y₁² + y₂² = 16

Từ x² = -2x + m

⇔ x² + 2x - m = 0 (*)

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

Δ = 2² - 4·1·(-m) = 4 + 4m > 0 ⇒ m > -1

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của (*)

⇒ y₁ = x₁², y₂ = x₂²

⇒ y₁² + y₂² = (x₁²)² + (x₂²)² = 16

Xét x₁, x₂ là nghiệm của (*)

Theo định lý Vi-et:

• x₁ + x₂ = -2
• x₁·x₂ = -m

Khi đó:

x₁⁴ + x₂⁴ = 16

Ta dùng công thức hằng đẳng thức:

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2(x₁·x₂)²

Tính x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

= (-2)² - 2(-m) = 4 + 2m

⇒ x₁⁴ + x₂⁴ = (4 + 2m)² - 2m²

= 16 + 16m + 4m² - 2m² = 16 + 16m + 2m²

Theo đề:

x₁⁴ + x₂⁴ = 16 ⇒ 16 + 16m + 2m² = 16

⇒ 16m + 2m² = 0 ⇒ m(8 + m) = 0

⇒ m = 0 hoặc m = -8

Xét điều kiện m > -1 để có 2 nghiệm phân biệt

⇒ Chỉ nhận m = 0

Kết luận:

a) Với m = 3, giao điểm là (-3, 9) và (1, 1)

b) m = 0 thỏa mãn yêu cầu.