Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có CD = 3, CB = 3, C ′C = 4. Tính khoảng cách
giữa C ′D và D ′B ′. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng C'D và D'B' trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các đỉnh:
   - Gọi C(0, 0, 0), D(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C'(0, 0, 4), D'(3, 0, 4), B'(0, 3, 4).

2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Đường thẳng C'D có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CD} = (3, 0, 0)$.
   - Đường thẳng D'B' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{D'B'} = (-3, 3, 0)$.

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa C'D và D'B':
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa C'D và D'B' là tích vector của $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{D'B'}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{D'B'} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     3 & 0 & 0 \
     -3 & 3 & 0
     \end{vmatrix} = (0, 0, 9)
     $$

4. Tìm khoảng cách từ điểm D' đến đường thẳng C'D:
   - Ta lấy điểm D'(3, 0, 4) và đường thẳng C'D có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CD} = (3, 0, 0)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{DD'} = (0, 0, 4)$.
   - Khoảng cách từ điểm D' đến đường thẳng C'D là:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{DD'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(0, 0, 4) \cdot (0, 0, 9)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 9^2}} = \frac{|0 + 0 + 36|}{9} = 4
     $$

5. Tìm khoảng cách từ điểm B' đến đường thẳng D'B':
   - Ta lấy điểm B'(0, 3, 4) và đường thẳng D'B' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{D'B'} = (-3, 3, 0)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{DB'} = (-3, 3, 4)$.
   - Khoảng cách từ điểm B' đến đường thẳng D'B' là:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{DB'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(-3, 3, 4) \cdot (0, 0, 9)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 9^2}} = \frac{|0 + 0 + 36|}{9} = 4
     $$

6. Kết luận:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng C'D và D'B' là 4.

Do đó, khoảng cách giữa C'D và D'B' là 4 (đơn vị).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có CD = 3, CB = 3, C ′C = 4. Tính khoảng cách giữa C ′D và D ′B ′. (Làm tròn đến hàng phần chục)