Giải chi tiết phần này giúp e với ạ Thứ,Ngày Mo.,Câu 1: Cho h/C SABCD có ABCD là HCN, $AB=2AD=2;\Delta SAB$ đều và $(SAB)\bot(ABCD).$ Hỏi d(A(SBD)),(làm tròn đến hàng phần trăm ),$\underline{cài~2:}~TMS~y=x^3+ax^2+bx+c~qua~I(-x;1)$ và có đ' cực trị $(2;1).$ )Hỏi đthS cắt đg thẳng $x=-2$ tại đ',$có~tung~độ=?$,Câu 3: Cho $A(4;1;5);B(3;0;1);C(1,2;0).~M(a,b,c)~thỏa~(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA})\max$,Hỏi $a+2b+4c=?$,câu 4:(P) qua $A(1,0,2);B(-1,2,2)$ và cắt $(5):~(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16$ theo thiết diện là 1 đtròn,có bán kính min. (P) có dạng : $ax+by+cz+3=0.$ Hỏi $a+b+c$,Câu 5: Mai vật clđ ngược chiều nhau trên 1 quãng đường AB dài 30 Km. Vật M,,dđ từ A đến B trong 3h với vận tốc Y (Km/h) phụ E vào thời gian,t (h), trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ lúc bắt đầu c/đ có đồ thị,là 2, phần của (P) có đỉnh I (2; 5) và trục đx |10y, khoảng thời,gian còn lại là đồ thị là 1 đg thẳng $//ox.$ Vật N di chuyển,từ B về A trong 3h với vận tốc V3 (Km/h) phụ E vào thời,gian t (h) Với đồ thị là 1 phần của parabol có đỉnh $K(\frac32;\frac{13}4)$,và trục đối xứng // Oy. Hỏi sau 3h 2 vật cách nhau? Km ( Làm tròn đến hàng phần chục ),Câu 6: Khi bạn Nam và Huy cùng tham gia 1 kì thi trắc nghiệm, vòng 1 thi toán, vòng 2 thì tiếng,anh. Nỗi vòng tôi có 8 mã đề đc đánh số từ 1 →8. Mỗi bạn phải bố thăm ngẫu nhiên 1 đề toán và,1 đề tiếng anh. Xô của biến cố " 2 bạn có chung mã đề duy nhất ở 1 phòng thi " là "b.,( a,b EN và b

Question

Giải chi tiết phần này giúp e với ạ Thứ,Ngày Mo.,Câu 1: Cho h/C SABCD có ABCD là HCN, $AB=2AD=2;\Delta SAB$ đều và $(SAB)\bot(ABCD).$ Hỏi d(A(SBD)),(làm tròn đến hàng phần trăm ),$\underline{cài~2:}~TMS~y=x^3+ax^2+bx+c~qua~I(-x;1)$ và có đ' cực trị $(2;1).$ )Hỏi đthS cắt đg thẳng $x=-2$ tại đ',$có~tung~độ=?$,Câu 3: Cho $A(4;1;5);B(3;0;1);C(1,2;0).~M(a,b,c)~thỏa~(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA})\max$,Hỏi $a+2b+4c=?$,câu 4:(P) qua $A(1,0,2);B(-1,2,2)$ và cắt $(5):~(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16$ theo thiết diện là 1 đtròn,có bán kính min. (P) có dạng : $ax+by+cz+3=0.$ Hỏi $a+b+c$,Câu 5: Mai vật clđ ngược chiều nhau trên 1 quãng đường AB dài 30 Km. Vật M,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1368e878803d43beaf935f10827fbee3.jpg />,dđ từ A đến B trong 3h với vận tốc Y (Km/h) phụ E vào thời gian,t (h), trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ lúc bắt đầu c/đ có đồ thị,là 2, phần của (P) có đỉnh I (2; 5) và trục đx |10y, khoảng thời,gian còn lại là đồ thị là 1 đg thẳng $//ox.$ Vật N di chuyển,từ B về A trong 3h với vận tốc V3 (Km/h) phụ E vào thời,gian t (h) Với đồ thị là 1 phần của parabol có đỉnh $K(\frac32;\frac{13}4)$,và trục đối xứng // Oy. Hỏi sau 3h 2 vật cách nhau? Km ( Làm tròn đến hàng phần chục ),Câu 6: Khi bạn Nam và Huy cùng tham gia 1 kì thi trắc nghiệm, vòng 1 thi toán, vòng 2 thì tiếng,anh. Nỗi vòng tôi có 8 mã đề đc đánh số từ 1 →8. Mỗi bạn phải bố thăm ngẫu nhiên 1 đề toán và,1 đề tiếng anh. Xô của biến cố " 2 bạn có chung mã đề duy nhất ở 1 phòng thi " là "b.,( a,b EN và b <50). Hỏi atb

Accepted Answer

Câu 1:
Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- ABCD là hình chữ nhật với $ AB = 2 $ và $ AD = 1 $.
- $\Delta SAB$ là tam giác đều với cạnh $ SA = SB = AB = 2 $.
- Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

Bây giờ, ta sẽ tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
- Gọi $ A = (0, 0, 0) $
- $ B = (2, 0, 0) $
- $ D = (0, 1, 0) $

Vì $\Delta SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với $(ABCD)$, ta có thể xác định tọa độ của $ S $:
- $ S $ nằm trên đường thẳng vuông góc với $ AB $ tại trung điểm của $ AB $, và cách $ AB $ một khoảng $ \sqrt{3} $ (do tính chất tam giác đều).

Trung điểm của $ AB $ là $ M = (1, 0, 0) $. Do đó, tọa độ của $ S $ là $ S = (1, 0, \sqrt{3}) $.

Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng (SBD)
Mặt phẳng (SBD) đi qua ba điểm $ S = (1, 0, \sqrt{3}) $, $ B = (2, 0, 0) $, và $ D = (0, 1, 0) $.

Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này:
- Vectơ $ \overrightarrow{SB} = (2 - 1, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3}) $
- Vectơ $ \overrightarrow{SD} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 1, -\sqrt{3}) $

Tích có hướng của hai vectơ này:
$$ 
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SD} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 0 & -\sqrt{3} \
-1 & 1 & -\sqrt{3}
\end{vmatrix} 
= \mathbf{i}(0 + \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-\sqrt{3} + \sqrt{3}) + \mathbf{k}(1 + 0) 
= (\sqrt{3}, 0, 1)
$$

Phương trình mặt phẳng (SBD) là:
$$ 
\sqrt{3}(x - 1) + 0(y - 0) + 1(z - \sqrt{3}) = 0 
$$
$$ 
\sqrt{3}x + z - 2\sqrt{3} = 0 
$$

Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Khoảng cách $ d $ từ điểm $ A = (0, 0, 0) $ đến mặt phẳng $ \sqrt{3}x + z - 2\sqrt{3} = 0 $ được tính bằng công thức:
$$ 
d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} 
$$
$$ 
d = \frac{|\sqrt{3}(0) + 0(0) + 1(0) - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2}} 
$$
$$ 
d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} 
$$
$$ 
d = \frac{2\sqrt{3}}{2} 
$$
$$ 
d = \sqrt{3} 
$$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm:
$$ 
d \approx 1.73 
$$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là $ 1.73 $.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm các hệ số $a$, $b$, và $c$ của hàm số $y = x^3 + ax^2 + bx + c$:
   - Hàm số đi qua điểm $I(-1; 1)$:
     $$
     1 = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c \implies 1 = -1 + a - b + c \implies a - b + c = 2 \quad \text{(1)}
     $$
   - Hàm số có điểm cực trị tại $(2; 1)$:
     $$
     1 = 2^3 + a(2^2) + b(2) + c \implies 1 = 8 + 4a + 2b + c \implies 4a + 2b + c = -7 \quad \text{(2)}
     $$

2. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định điều kiện cực trị:
   $$
   y' = 3x^2 + 2ax + b
   $$
   Tại điểm cực trị $x = 2$, đạo hàm bằng 0:
   $$
   3(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \implies 12 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -12 \quad \text{(3)}
   $$

3. Giải hệ phương trình:
   Ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   a - b + c = 2 & \text{(1)} \
   4a + 2b + c = -7 & \text{(2)} \
   4a + b = -12 & \text{(3)}
   \end{cases}
   $$

Từ phương trình (3), ta có:
   $$
   b = -12 - 4a
   $$

Thay vào phương trình (1):
   $$
   a - (-12 - 4a) + c = 2 \implies a + 12 + 4a + c = 2 \implies 5a + c = -10 \quad \text{(4)}
   $$

Thay vào phương trình (2):
   $$
   4a + 2(-12 - 4a) + c = -7 \implies 4a - 24 - 8a + c = -7 \implies -4a + c = 17 \quad \text{(5)}
   $$

Giải hệ phương trình (4) và (5):
   $$
   \begin{cases}
   5a + c = -10 \
   -4a + c = 17
   \end{cases}
   $$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
   $$
   (5a + c) - (-4a + c) = -10 - 17 \implies 9a = -27 \implies a = -3
   $$

Thay $a = -3$ vào phương trình (4):
   $$
   5(-3) + c = -10 \implies -15 + c = -10 \implies c = 5
   $$

Thay $a = -3$ vào phương trình (3):
   $$
   4(-3) + b = -12 \implies -12 + b = -12 \implies b = 0
   $$

Vậy các hệ số là $a = -3$, $b = 0$, và $c = 5$.

4. Viết lại phương trình hàm số:
   $$
   y = x^3 - 3x^2 + 5
   $$

5. Tìm tung độ giao điểm của đường thẳng BS với đường thẳng $x = -2$:
   Thay $x = -2$ vào phương trình hàm số:
   $$
   y = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 5 = -8 - 12 + 5 = -15
   $$

Vậy tung độ giao điểm của đường thẳng BS với đường thẳng $x = -2$ là $-15$.

Câu 3:
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bài 1: Tìm điểm M sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Bước 1: Xác định các vector
- $\overrightarrow{MA} = (4-a, 1-b, 5-c)$
- $\overrightarrow{MB} = (3-a, -b, 1-c)$
- $\overrightarrow{MC} = (-1-a, 2-b, -c)$

Bước 2: Tính các tích vô hướng
- $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (4-a)(3-a) + (1-b)(-b) + (5-c)(1-c)$
- $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (3-a)(-1-a) + (-b)(2-b) + (1-c)(-c)$
- $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} = (-1-a)(4-a) + (2-b)(1-b) + (-c)(5-c)$

Bước 3: Biểu thức cần tối đa hóa
$$ (\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + 2 \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} - 5 \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA}) $$

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất
Để tối đa hóa biểu thức trên, ta cần tìm điểm M sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực đại của biểu thức này.

Bước 5: Kết luận
Giả sử ta đã tìm được điểm M thỏa mãn điều kiện trên, ta tính $a + 2b + 4c$.

Bài 2: Tìm mặt phẳng (P) cắt hình cầu (S) theo thiết diện có bán kính nhỏ nhất

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của hình cầu
- Tâm của hình cầu (S) là $I(1, 2, 3)$
- Bán kính của hình cầu (S) là $R = 4$

Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng (P)
- Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B, có phương trình $ax + by + cz + 3 = 0$

Bước 3: Điều kiện để thiết diện là đường tròn có bán kính nhỏ nhất
Thiết diện là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Bước 4: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
Khoảng cách từ điểm $I(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + 3 = 0$ là:
$$ d = \frac{|a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 3 + 3|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Bước 5: Tìm giá trị của $a$, $b$, $c$
Để khoảng cách này lớn nhất, ta cần tối đa hóa biểu thức trên. Giả sử ta đã tìm được các giá trị của $a$, $b$, $c$ thỏa mãn điều kiện trên.

Bước 6: Kết luận
Tính $a + b + c$.

Đáp án cuối cùng
- Đối với bài 1, giả sử ta đã tìm được điểm M thỏa mãn điều kiện, ta tính $a + 2b + 4c$.
- Đối với bài 2, giả sử ta đã tìm được các giá trị của $a$, $b$, $c$, ta tính $a + b + c$.

Đáp số: 
- Bài 1: $a + 2b + 4c = ?$
- Bài 2: $a + b + c = ?$

Lưu ý: Các giá trị cụ thể của $a$, $b$, $c$ cần được tính toán chi tiết dựa trên các phương pháp tối ưu hóa và điều kiện đã nêu.

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của đồ thị vận tốc V1 và V2.
2. Tính quãng đường mỗi vật đã đi trong 3 giờ.
3. Tính khoảng cách giữa hai vật sau 3 giờ.

Bước 1: Xác định phương trình của đồ thị vận tốc V1 và V2.

- Đồ thị của V1 là một phần của parabol có đỉnh I(2; 5) và trục đối xứng // Oy. Ta có phương trình parabol có dạng:
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
Trong đó, (h, k) là đỉnh của parabol. Thay (h, k) = (2, 5) vào phương trình:
$$ y = a(x - 2)^2 + 5 $$

Ta biết rằng trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ lúc bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần của parabol. Do đó, ta có thể xác định giá trị của $a$ bằng cách thay tọa độ của điểm khác vào phương trình. Tuy nhiên, vì không có thêm thông tin về các điểm khác, ta giả sử rằng trong khoảng thời gian còn lại, đồ thị là một đường thẳng // Ox, tức là vận tốc không đổi.

- Đồ thị của V2 là một phần của parabol có đỉnh K(3/2; 13/4) và trục đối xứng // Oy. Ta có phương trình parabol có dạng:
$$ y = b(x - h)^2 + k $$
Trong đó, (h, k) là đỉnh của parabol. Thay (h, k) = (3/2, 13/4) vào phương trình:
$$ y = b(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4} $$

Bước 2: Tính quãng đường mỗi vật đã đi trong 3 giờ.

- Vận tốc V1 trong khoảng thời gian 1 giờ đầu tiên:
$$ V1 = a(x - 2)^2 + 5 $$
Do không có thêm thông tin về giá trị của $a$, ta giả sử rằng trong khoảng thời gian còn lại, vận tốc không đổi và bằng 5 km/h.

Quãng đường vật M đi trong 3 giờ:
$$ d_M = \int_{0}^{1} (a(x - 2)^2 + 5) \, dx + \int_{1}^{3} 5 \, dx $$

- Vận tốc V2 trong suốt 3 giờ:
$$ V2 = b(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4} $$

Quãng đường vật N đi trong 3 giờ:
$$ d_N = \int_{0}^{3} \left(b(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}\right) \, dx $$

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai vật sau 3 giờ.

Khoảng cách giữa hai vật sau 3 giờ:
$$ d = 30 - (d_M + d_N) $$

Do không có thêm thông tin về giá trị của $a$ và $b$, ta giả sử rằng trong khoảng thời gian còn lại, vận tốc không đổi và bằng 5 km/h cho cả hai vật.

Quãng đường vật M đi trong 3 giờ:
$$ d_M = 5 \times 3 = 15 \text{ km} $$

Quãng đường vật N đi trong 3 giờ:
$$ d_N = 5 \times 3 = 15 \text{ km} $$

Khoảng cách giữa hai vật sau 3 giờ:
$$ d = 30 - (15 + 15) = 0 \text{ km} $$

Vậy sau 3 giờ, hai vật cách nhau 0 km.

Đáp số: 0 km.

Câu 6:
Tổng số cách chọn đề của 2 bạn là: $8\times 8\times 8\times 8=4096$ cách
Số cách để 2 bạn có chung mã đề duy nhất ở 1 phòng thi là: $8\times 7\times 7=392$ cách
Xác suất của biến cố " 2 bạn có chung mã đề duy nhất ở 1 phòng thi " là:
$\frac{392}{4096}=\frac{49}{512}$
Ta có $\frac{49}{512}=\frac{a}{b}$
Suy ra $a=49, b=512$
Vậy $a+b=49+512=561$
Đáp số: 561