giải trả lời ngắn ,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20 cm. và $SA\bot(ABCD),$,$SB=25~cm$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu centimét? (kết,quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Sự phát triển chiều cao của một cây tre trong 8 tuần được mô tả bởi hàm số bậc ba dạng,$h(t)=at^3+bt^2+ct+d(mét),$ (mét), trong đó $t\in[0;8]$ là thời gian tính bằng tuần tại thời điểm cuối,tuần, h(t) là chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ t và tính bằng mét. Dữ liệu đo,được về chiều cao và tốc độ tăng trưởng của cây tre đó như sau:, t là thời gian (tuần),0,4 h(t) là chiều cao (m),0,2 h (t) là tốc độ tăng trưởng (m/tuần),0,"0,75" ,Chiều cao của cây tre đó tại thời điểm cuối tuần thứ 8 là bao nhiêu mét?,Câu 3. Một thùng đựng hoá chất có dạng khối tròn xoay,,hai đáy là hai hình tròn có đường kính 30 cm,,trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm và vuông,,góc hai đáy, chiều cao thùng 60 cm (là khoảng,cách giữa hai tâm của hai đáy), mặt cắt vuông góc,với trục đối xứng là hình tròn có đường kính lớn,nhất 40 cm, mặt phẳng chứa trục đối xứng cắt,mặt ngoài của thùng tạo thành hai biên là hai phần,của hai parabol (xem hình bên). Hỏi thể tích của,thùng đựng hoá chất đó bằng bao nhiêu lít (biết độ,dày vỏ thùng không đáng kể, kết quả làm tròn đến,hàng phần mười)?,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac z3$ và ba điểm,$A(2;0;0),~B(0;4;0),~C(0;0;-2).$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) bằng bao,2,0; - 2 3, - nnhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) $?^{36=57}_{0,-4,8}0,-4,0,$ = ện,âu 5. Thống kê chiều cao (đơn vị centimét) các học sinh của lớp 12 A được số liệu ở bảng sau:,;2,5, Chiều cao học sinh,[155; 160),[160; 165),[165; 100),[170;175),[175; 180) Số học sinh,4,6,6,7,5 ,1?2,,$=167$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng,phần mười)?,iu 6. Một hộ kinh doanh sản xuất hai loại sản phẩm, gồm sản phẩm thường và sản phẩm cao cấp.,Mỗi sản phẩm thực hiện hai công đoạn là lắp ráp và hoàn thiện, có tối đa 12 giờ cho mỗi công,đoạn. Mỗi sản phẩm thường cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện, mỗi sản phẩm cao cấp cần,2 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Hộ kinh doanh sản xuất tối đa 7 sản phẩm mỗi ngày. Biết,mỗi sản phẩm thường, mỗi sản phẩm cao cấp cho lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu,đồng. Hỏi mỗi ngày, hộ kinh doanh đó thu được lợi nhuận nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ,sản xuất các sản phẩm trên?,HẾT

Question

giải trả lời ngắn

,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20 cm. và $SA\bot(ABCD),$,$SB=25~cm$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu centimét? (kết,quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Sự phát triển chiều cao của một cây tre trong 8 tuần được mô tả bởi hàm số bậc ba dạng,$h(t)=at^3+bt^2+ct+d(mét),$ (mét), trong đó $t\in[0;8]$ là thời gian tính bằng tuần tại thời điểm cuối,tuần, h(t) là chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ t và tính bằng mét. Dữ liệu đo,được về chiều cao và tốc độ tăng trưởng của cây tre đó như sau:, t là thời gian (tuần),0,4 h(t) là chiều cao (m),0,2 h (t) là tốc độ tăng trưởng (m/tuần),0,"0,75" ,Chiều cao của cây tre đó tại thời điểm cuối tuần thứ 8 là bao nhiêu mét?,Câu 3. Một thùng đựng hoá chất có dạng khối tròn xoay,,hai đáy là hai hình tròn có đường kính 30 cm,,trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm và vuông,

,góc hai đáy, chiều cao thùng 60 cm (là khoảng,cách giữa hai tâm của hai đáy), mặt cắt vuông góc,với trục đối xứng là hình tròn có đường kính lớn,nhất 40 cm, mặt phẳng chứa trục đối xứng cắt,mặt ngoài của thùng tạo thành hai biên là hai phần,của hai parabol (xem hình bên). Hỏi thể tích của,thùng đựng hoá chất đó bằng bao nhiêu lít (biết độ,dày vỏ thùng không đáng kể, kết quả làm tròn đến,hàng phần mười)?,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac z3$ và ba điểm,$A(2;0;0),~B(0;4;0),~C(0;0;-2).$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) bằng bao,2,0; - 2 3, - nnhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) $?^{36=57}_{0,-4,8}0,-4,0,$ = ện,âu 5. Thống kê chiều cao (đơn vị centimét) các học sinh của lớp 12 A được số liệu ở bảng sau:,;2,5, Chiều cao học sinh,[155; 160),[160; 165),[165; 100),[170;175),[175; 180) Số học sinh,4,6,6,7,5 ,1?2,,$=167$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng,phần mười)?,iu 6. Một hộ kinh doanh sản xuất hai loại sản phẩm, gồm sản phẩm thường và sản phẩm cao cấp.,Mỗi sản phẩm thực hiện hai công đoạn là lắp ráp và hoàn thiện, có tối đa 12 giờ cho mỗi công,đoạn. Mỗi sản phẩm thường cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện, mỗi sản phẩm cao cấp cần,2 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Hộ kinh doanh sản xuất tối đa 7 sản phẩm mỗi ngày. Biết,mỗi sản phẩm thường, mỗi sản phẩm cao cấp cho lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu,đồng. Hỏi mỗi ngày, hộ kinh doanh đó thu được lợi nhuận nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ,sản xuất các sản phẩm trên?,HẾT

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm chiều cao SA của chóp S.ABCD:
   - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh 20 cm, nên AC = BD = 20√2 cm.
   - Ta có tam giác SAB vuông tại A, do đó:
     $$
     SA^2 + AB^2 = SB^2
     $$
     $$
     SA^2 + 20^2 = 25^2
     $$
     $$
     SA^2 + 400 = 625
     $$
     $$
     SA^2 = 225
     $$
     $$
     SA = 15 \text{ cm}
     $$

2. Tính diện tích tam giác SBD:
   - Tam giác SBD có đáy BD = 20√2 cm và chiều cao từ S hạ xuống BD là SA.
   - Diện tích tam giác SBD:
     $$
     S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA = \frac{1}{2} \times 20\sqrt{2} \times 15 = 150\sqrt{2} \text{ cm}^2
     $$

3. Tính diện tích tam giác SCD:
   - Tam giác SCD có đáy CD = 20 cm và chiều cao từ S hạ xuống CD là SA.
   - Diện tích tam giác SCD:
     $$
     S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SA = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \text{ cm}^2
     $$

4. Tính diện tích tam giác SBC:
   - Tam giác SBC có đáy BC = 20 cm và chiều cao từ S hạ xuống BC là SA.
   - Diện tích tam giác SBC:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \text{ cm}^2
     $$

5. Tính diện tích tam giác SAD:
   - Tam giác SAD có đáy AD = 20 cm và chiều cao từ S hạ xuống AD là SA.
   - Diện tích tam giác SAD:
     $$
     S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SA = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \text{ cm}^2
     $$

6. Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD:
   - Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD:
     $$
     S_{tổng} = S_{SBD} + S_{SCD} + S_{SBC} + S_{SAD} = 150\sqrt{2} + 150 + 150 + 150 = 150\sqrt{2} + 450 \text{ cm}^2
     $$

7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD:
   - Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là d.
   - Diện tích tam giác SBD cũng có thể tính qua đường cao hạ từ điểm C xuống BD, tức là:
     $$
     S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times d
     $$
     $$
     150\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 20\sqrt{2} \times d
     $$
     $$
     150\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \times d
     $$
     $$
     d = \frac{150\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 15 \text{ cm}
     $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là 15 cm.

Câu 2.
Để tìm chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ 8, chúng ta cần xác định các hệ số $a$, $b$, $c$, và $d$ trong hàm số $h(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. Chúng ta sẽ sử dụng dữ liệu đã cho để lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đó.

Dữ liệu đã cho:
- $h(0) = 0,2$
- $h'(0) = 0,75$

Từ dữ liệu trên, ta có:
$$ h(0) = d = 0,2 $$

Hàm số đạo hàm của $h(t)$ là:
$$ h'(t) = 3at^2 + 2bt + c $$

Tại $t = 0$:
$$ h'(0) = c = 0,75 $$

Bây giờ, ta cần thêm hai điều kiện nữa để xác định $a$ và $b$. Ta giả sử rằng tại thời điểm cuối tuần thứ 4, chiều cao của cây tre là 1 mét và tốc độ tăng trưởng là 1,5 mét/tuần. Điều này cho ta hai điều kiện bổ sung:
$$ h(4) = 1 $$
$$ h'(4) = 1,5 $$

Thay vào hàm số và đạo hàm:
$$ h(4) = a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) + d = 1 $$
$$ 64a + 16b + 4c + d = 1 $$

$$ h'(4) = 3a(4)^2 + 2b(4) + c = 1,5 $$
$$ 48a + 8b + c = 1,5 $$

Ta đã có các phương trình:
1. $ d = 0,2 $
2. $ c = 0,75 $
3. $ 64a + 16b + 4c + d = 1 $
4. $ 48a + 8b + c = 1,5 $

Thay $d$ và $c$ vào phương trình thứ 3 và thứ 4:
$$ 64a + 16b + 4(0,75) + 0,2 = 1 $$
$$ 64a + 16b + 3 + 0,2 = 1 $$
$$ 64a + 16b + 3,2 = 1 $$
$$ 64a + 16b = -2,2 \quad \text{(Phương trình 5)} $$

$$ 48a + 8b + 0,75 = 1,5 $$
$$ 48a + 8b = 0,75 \quad \text{(Phương trình 6)} $$

Chia phương trình 6 cho 8:
$$ 6a + b = 0,09375 \quad \text{(Phương trình 7)} $$

Chia phương trình 5 cho 16:
$$ 4a + b = -0,1375 \quad \text{(Phương trình 8)} $$

Lấy phương trình 7 trừ phương trình 8:
$$ (6a + b) - (4a + b) = 0,09375 - (-0,1375) $$
$$ 2a = 0,23125 $$
$$ a = 0,115625 $$

Thay $a$ vào phương trình 7:
$$ 6(0,115625) + b = 0,09375 $$
$$ 0,69375 + b = 0,09375 $$
$$ b = 0,09375 - 0,69375 $$
$$ b = -0,6 $$

Bây giờ ta đã có tất cả các hệ số:
$$ a = 0,115625 $$
$$ b = -0,6 $$
$$ c = 0,75 $$
$$ d = 0,2 $$

Hàm số chiều cao của cây tre là:
$$ h(t) = 0,115625t^3 - 0,6t^2 + 0,75t + 0,2 $$

Chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ 8:
$$ h(8) = 0,115625(8)^3 - 0,6(8)^2 + 0,75(8) + 0,2 $$
$$ h(8) = 0,115625(512) - 0,6(64) + 0,75(8) + 0,2 $$
$$ h(8) = 59,2 - 38,4 + 6 + 0,2 $$
$$ h(8) = 27 $$

Vậy chiều cao của cây tre tại thời điểm cuối tuần thứ 8 là 27 mét.

Câu 3.
Thể tích của thùng đựng hóa chất có dạng khối tròn xoay được tính dựa trên công thức thể tích của khối trụ.

Trước tiên, ta xác định các thông số cần thiết:
- Đường kính đáy của thùng là 30 cm, do đó bán kính đáy $ r $ là:
$$ r = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm} $$

- Chiều cao của thùng $ h $ là 60 cm.

Công thức tính thể tích của khối trụ là:
$$ V = \pi r^2 h $$

Áp dụng các giá trị đã biết vào công thức:
$$ V = \pi \times 15^2 \times 60 $$
$$ V = \pi \times 225 \times 60 $$
$$ V = 13500\pi \text{ cm}^3 $$

Chuyển đổi từ đơn vị cm³ sang lít (1 lít = 1000 cm³):
$$ V = \frac{13500\pi}{1000} \text{ lít} $$
$$ V = 13.5\pi \text{ lít} $$

Lấy giá trị của $\pi$ là 3.14:
$$ V \approx 13.5 \times 3.14 $$
$$ V \approx 42.39 \text{ lít} $$

Kết quả làm tròn đến hàng phần mười:
$$ V \approx 42.4 \text{ lít} $$

Vậy thể tích của thùng đựng hóa chất là 42.4 lít.

Câu 4.
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu của đề bài.

Bài 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3}$
  Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{d} = (2, 1, 3)$.

- Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua các điểm $A(2, 0, 0)$, $B(0, 4, 0)$, $C(0, 0, -2)$.
  Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, 4, 0)$ và vectơ $\overrightarrow{AC} = (-2, 0, -2)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là:
  $$
  \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
  \begin{vmatrix}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
  -2 & 4 & 0 \
  -2 & 0 & -2
  \end{vmatrix} = (-8, -4, 8)
  $$

Bước 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

$$
\cos \theta = \left| \frac{\vec{d} \cdot \vec{n}}{|\vec{d}| |\vec{n}|} \right|
$$

$$
\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \cdot (-8) + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 8 = -16 - 4 + 24 = 4
$$

$$
|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}
$$

$$
|\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12
$$

$$
\cos \theta = \left| \frac{4}{\sqrt{14} \cdot 12} \right| = \left| \frac{4}{12\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{1}{3\sqrt{14}} \right|
$$

$$
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{3\sqrt{14}} \right) \approx 82^\circ
$$

Bài 2: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bước 1: Xác định các khoảng tứ phân vị
- Số lượng học sinh: $4 + 6 + 6 + 7 + 5 = 28$

- Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{28}{4} = 7$, tức là ở khoảng [160; 165)
- Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3 \times 28}{4} = 21$, tức là ở khoảng [170; 175)

Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị
$$
Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 172.5 - 162.5 = 10
$$

Bài 3: Lợi nhuận tối đa của hộ kinh doanh

Bước 1: Xác định các ràng buộc
- Thời gian lắp ráp: $x + 2y \leq 12$
- Thời gian hoàn thiện: $2x + y \leq 12$
- Tổng số sản phẩm: $x + y \leq 7$
- $x \geq 0$, $y \geq 0$

Bước 2: Xác định hàm mục tiêu
Hàm lợi nhuận: $P = 2x + 3y$

Bước 3: Giải hệ bất đẳng thức để tìm các đỉnh của vùng khả thi
- Giao điểm của $x + 2y = 12$ và $2x + y = 12$:
  $$
  x + 2y = 12 \quad \text{(1)}
  $$
  $$
  2x + y = 12 \quad \text{(2)}
  $$
  Nhân (1) với 2 rồi trừ (2):
  $$
  2x + 4y = 24
  $$
  $$
  2x + y = 12
  $$
  $$
  3y = 12 \implies y = 4
  $$
  Thay $y = 4$ vào (1):
  $$
  x + 2 \cdot 4 = 12 \implies x = 4
  $$
  Điểm giao là $(4, 4)$.

- Các đỉnh khác: $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(0, 6)$, $(4, 3)$, $(3, 4)$

Bước 4: Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh
- $P(0, 0) = 0$
- $P(6, 0) = 12$
- $P(0, 6) = 18$
- $P(4, 4) = 20$
- $P(4, 3) = 17$
- $P(3, 4) = 18$

Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 20 triệu đồng, đạt được khi sản xuất 4 sản phẩm thường và 4 sản phẩm cao cấp.

Đáp số
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $82^\circ$
2. Khoảng tứ phân vị: $10$
3. Lợi nhuận tối đa: $20$ triệu đồng