Giúp mình với

Phương Tramm

Mời bạn tham khảo:

Ta có:

Tiêu cự của elip là $2c = 6$, suy ra $c = 3$.

Độ dài trục nhỏ là $2b = 8$, suy ra $b = 4$.

Vì elip có $a^2 = b^2 + c^2$ (do $a$ là nửa trục lớn, $b$ là nửa trục nhỏ, $a > b$), ta có:

$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, suy ra $a = 5$.

Độ dài trục lớn là $2a = 2 \times 5 = 10$.

Ta xét từng phát biểu:

a) Tiêu điểm $F_1(0; -3)$; $F_2(0; 3)$.

Phát biểu này nói rằng tiêu điểm nằm trên trục $Oy$. Điều này xảy ra khi trục lớn của elip nằm trên trục $Oy$ (elip đứng). Khi đó phương trình elip là $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$, tức là $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.

Tuy nhiên, nếu không có thông tin gì thêm, ta thường giả định trục lớn nằm trên trục $Ox$ khi $a > b$. Nếu trục lớn nằm trên trục $Ox$ (elip ngang), tiêu điểm sẽ là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$, tức là $F_1(-3; 0)$ và $F_2(3; 0)$.

Do đó, phát biểu a) chỉ đúng nếu elip là elip đứng. Nếu giả định elip là elip ngang (theo quy ước thông thường $a>b$ thì trục lớn là $Ox$), phát biểu này là sai. Giả sử quy ước trục lớn nằm ngang được áp dụng. Vậy phát biểu a) là Sai.

b) Độ dài trục lớn bằng $5$.

Độ dài trục lớn là $2a = 10$. Phát biểu này là Sai.

c) Tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip có hoành độ $x = 2$ đến hai tiêu điểm bằng $10$.

Theo định nghĩa của elip, tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc elip đến hai tiêu điểm luôn bằng độ dài trục lớn $2a$. Ta đã tính được $2a = 10$. Do đó, tổng khoảng cách này luôn bằng $10$ cho mọi điểm thuộc elip (miễn là điểm đó tồn tại). Ta cần kiểm tra xem có điểm nào trên elip với $x=2$ hay không.

Nếu elip ngang: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Thay $x=2$: $\frac{4}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \implies \frac{y^2}{16} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \implies y^2 = \frac{16 \times 21}{25} > 0$. Tồn tại điểm.

Nếu elip đứng: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$. Thay $x=2$: $\frac{4}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \implies \frac{y^2}{25} = \frac{3}{4} \implies y^2 = \frac{75}{4} > 0$. Tồn tại điểm.

Trong cả hai trường hợp, có điểm trên elip với $x=2$, và tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là $2a = 10$. Phát biểu này là Đúng.

d) Phương trình elip $(E)$ là $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Phương trình này tương đương với $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$, hay $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Đây là phương trình của elip có $a^2 = 25 \implies a = 5$ và $b^2 = 16 \implies b = 4$. Các giá trị này khớp với tính toán của chúng ta. Phương trình này ứng với elip có trục lớn nằm trên trục $Ox$ (elip ngang). Nếu giả định elip là elip ngang, phát biểu này là Đúng.