cho a,b là hai số thực dương thoả mãn ab lớn hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} $, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức.

Đầu tiên, ta xét biểu thức $ P $:

$$ P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} $$

Ta sẽ biến đổi từng phần của biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất.

Xét biểu thức $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} $:
- Ta thấy rằng nếu $ a = b $, biểu thức này sẽ đơn giản hơn. Giả sử $ a = b $, ta có:
  $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} $$

Tương tự, xét biểu thức $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} $:
- Nếu $ a = b $, biểu thức này cũng sẽ là:
  $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} $$

Cuối cùng, xét biểu thức $ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} $:
- Nếu $ a = b $, ta có:
  $$ \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2}+1} = \frac{a}{a+1} $$

Do đó, khi $ a = b $, biểu thức $ P $ trở thành:
$$ P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{a}{a+1} $$
$$ P = 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{a}{a+1} $$

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Ta thấy rằng khi $ a = 1 $, biểu thức này đơn giản nhất:
$$ P = 2 \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+1} $$
$$ P = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $$
$$ P = 1 + \frac{1}{2} $$
$$ P = \frac{3}{2} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P $ là $ \frac{3}{2} $, đạt được khi $ a = b = 1 $.

Đáp số: $ \frac{3}{2} $

cho a,b là hai số thực dương thoả mãn ab lớn hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=