cho a,b là hai số thực dương thoả mãn ab lớn hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Đầu tiên, ta xét biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} \] Ta sẽ biến đổi từng phần của biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất. Xét biểu thức \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+1} \): - Ta thấy rằng nếu \( a = b \), biểu thức này sẽ đơn giản hơn. Giả sử \( a = b \), ta có: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \] Tương tự, xét biểu thức \( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+1} \): - Nếu \( a = b \), biểu thức này cũng sẽ là: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \] Cuối cùng, xét biểu thức \( \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+1} \): - Nếu \( a = b \), ta có: \[ \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2}+1} = \frac{a}{a+1} \] Do đó, khi \( a = b \), biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{a}{a+1} \] \[ P = 2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} + \frac{a}{a+1} \] Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Ta thấy rằng khi \( a = 1 \), biểu thức này đơn giản nhất: \[ P = 2 \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+1} \] \[ P = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \] \[ P = 1 + \frac{1}{2} \] \[ P = \frac{3}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{3}{2} \), đạt được khi \( a = b = 1 \). Đáp số: \( \frac{3}{2} \)