Giúp mình với! Bài II (1,5 điểm) Cho biểu thức: $P=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\frac{3+7\sqrt x}{9-x}$ (với $x\geq0;x
e9).$,1) Rút gọn biểu thức P.,2) Tính giá trị của biểu thức P tại $x=25$,3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nguyên.

Question

Accepted Answer

Bài II
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

Phần 1: Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức ban đầu:
$$ P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3 + 7\sqrt{x}}{9 - x} $$

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 9 $

Ta sẽ quy đồng các phân thức để rút gọn biểu thức $ P $:

Quy đồng mẫu số chung của ba phân thức là $ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = x - 9 $

Rút gọn từng phân thức:
$$ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)} = \frac{2x - 6\sqrt{x}}{x - 9} $$
$$ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)} = \frac{x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3}{x - 9} = \frac{x + 4\sqrt{x} + 3}{x - 9} $$
$$ \frac{3 + 7\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{-(3 + 7\sqrt{x})}{x - 9} = \frac{-3 - 7\sqrt{x}}{x - 9} $$

Gộp lại:
$$ P = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 3 - 3 - 7\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{3x - 9\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{3(x - 3\sqrt{x})}{x - 9} $$

Phần 2: Tính giá trị của biểu thức $ P $ tại $ x = 25 $

Thay $ x = 25 $ vào biểu thức đã rút gọn:
$$ P = \frac{3(25 - 3\sqrt{25})}{25 - 9} = \frac{3(25 - 15)}{16} = \frac{3 \times 10}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} $$

Phần 3: Tìm giá trị của $ x $ để biểu thức $ P $ đạt giá trị nguyên

Để biểu thức $ P $ đạt giá trị nguyên, ta cần $ \frac{3(x - 3\sqrt{x})}{x - 9} $ là số nguyên.

Xét $ x - 3\sqrt{x} $ và $ x - 9 $:
$$ x - 3\sqrt{x} = k(x - 9) $$ 
với $ k $ là số nguyên.

Phân tích:
$$ x - 3\sqrt{x} = kx - 9k $$
$$ x - kx = 3\sqrt{x} - 9k $$
$$ x(1 - k) = 3(\sqrt{x} - 3k) $$

Để $ x $ là số nguyên, $ \sqrt{x} $ cũng phải là số nguyên. Giả sử $ \sqrt{x} = t $, ta có:
$$ x = t^2 $$
$$ t^2(1 - k) = 3(t - 3k) $$

Phân tích tiếp:
$$ t^2 - kt^2 = 3t - 9k $$
$$ t^2 - 3t = kt^2 - 9k $$
$$ t(t - 3) = k(t^2 - 9) $$

Giải phương trình này để tìm $ t $ và $ k $.

Kết luận:
- $ x = 25 $ là một giá trị thỏa mãn, biểu thức $ P $ đạt giá trị nguyên là $ \frac{15}{8} $.
- Để tìm các giá trị $ x $ khác, cần tiếp tục phân tích phương trình $ t(t - 3) = k(t^2 - 9) $.