mọi người giúp em với ạ d) Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(5;-2),~B(3;0),~C(-1;2)$ là,$(x+4)^2+(y+9)^2=130$,Câu 3. Cho đường tròn (C) có tâm $I(-1;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:~x-2y+7=0.$ Các mệnh để,sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"$d(1,\Delta)=\frac3{\sqrt5}$",,
b),Đường kính của đường tròn có độ dài bằng $\frac4{\sqrt5}$,,
c),Phương trình đường tròn là $(x+1)^2+(y-2)^2=\frac45$,,
,d) | Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ lớn hơn 0,,

,Câu 4. Đường tròn (C) đi qua hai điểm $A(2;3),~B(-1;1)$ có tâm thuộc $\Delta:~x-3y-11=0.$ Các mệnh đề,sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng | Sai,
a),Tâm của đường tròn (C) là $I(7;-\frac43)$,,
b),Điểm $O(0;0)$ nằm bên trong đường tròn (C),,
c),Đường kính của đường tròn (C) bằng 65,,
d),Đường tròn (C) đi qua điểm $N(0;2)$,,

,Câu 5. Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ và hai điểm $A(1;-1),~B(1;3).$ Các,mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Điểm A thuộc đường tròn,,
b),Điểm B nằm trong đường tròn,,
c),$x=1$ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.,,
,d) Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $x=1;3x+4y-12=0.$,,

,$I(5;6)$ và tiếp xúc với đường

Question

mọi người giúp em với ạ d) Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(5;-2),~B(3;0),~C(-1;2)$ là,$(x+4)^2+(y+9)^2=130$,Câu 3. Cho đường tròn (C) có tâm $I(-1;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:~x-2y+7=0.$ Các mệnh để,sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"$d(1,\Delta)=\frac3{\sqrt5}$",,
b),Đường kính của đường tròn có độ dài bằng $\frac4{\sqrt5}$,,
c),Phương trình đường tròn là $(x+1)^2+(y-2)^2=\frac45$,,
,d) | Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ lớn hơn 0,,

,Câu 4. Đường tròn (C) đi qua hai điểm $A(2;3),~B(-1;1)$ có tâm thuộc $\Delta:~x-3y-11=0.$ Các mệnh đề,sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng | Sai,
a),Tâm của đường tròn (C) là $I(7;-\frac43)$,,
b),Điểm $O(0;0)$ nằm bên trong đường tròn (C),,
c),Đường kính của đường tròn (C) bằng 65,,
d),Đường tròn (C) đi qua điểm $N(0;2)$,,

,Câu 5. Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ và hai điểm $A(1;-1),~B(1;3).$ Các,mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Điểm A thuộc đường tròn,,
b),Điểm B nằm trong đường tròn,,
c),$x=1$ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.,,
,d) Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $x=1;3x+4y-12=0.$,,

,$I(5;6)$ và tiếp xúc với đường

Accepted Answer

Để tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm $ A(5, -2) $, $ B(3, 0) $, và $ C(-1, 2) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng AB:
   - Vector $ \overrightarrow{AB} = (3-5, 0-(-2)) = (-2, 2) $
   - Phương trình đường thẳng AB:
     $$
     y + 2 = \frac{2}{-2}(x - 5) \implies y + 2 = -1(x - 5) \implies y + 2 = -x + 5 \implies x + y - 3 = 0
     $$

2. Tìm phương trình đường thẳng BC:
   - Vector $ \overrightarrow{BC} = (-1-3, 2-0) = (-4, 2) $
   - Phương trình đường thẳng BC:
     $$
     y - 0 = \frac{2}{-4}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies 2y = -x + 3 \implies x + 2y - 3 = 0
     $$

3. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:
   - Điểm giữa của AB là $ M_1 = \left(\frac{5+3}{2}, \frac{-2+0}{2}\right) = (4, -1) $
   - Đường trung trực của AB vuông góc với AB và đi qua $ M_1 $:
     $$
     y + 1 = 1(x - 4) \implies y + 1 = x - 4 \implies x - y - 5 = 0
     $$

4. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC:
   - Điểm giữa của BC là $ M_2 = \left(\frac{3-1}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1) $
   - Đường trung trực của BC vuông góc với BC và đi qua $ M_2 $:
     $$
     y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies 2x - y - 1 = 0
     $$

5. Tìm tâm đường tròn (giao điểm của hai đường trung trực):
   - Giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     x - y - 5 = 0 \
     2x - y - 1 = 0
     \end{cases}
     $$
     Từ phương trình thứ nhất: $ y = x - 5 $
     Thay vào phương trình thứ hai:
     $$
     2x - (x - 5) - 1 = 0 \implies 2x - x + 5 - 1 = 0 \implies x + 4 = 0 \implies x = -4
     $$
     Thay $ x = -4 $ vào $ y = x - 5 $:
     $$
     y = -4 - 5 = -9
     $$
     Vậy tâm đường tròn là $ O(-4, -9) $.

6. Tính bán kính đường tròn (cự ly từ tâm đến một trong ba điểm):
   - Bán kính $ R = OA $:
     $$
     R = \sqrt{(5 - (-4))^2 + (-2 - (-9))^2} = \sqrt{(5 + 4)^2 + (-2 + 9)^2} = \sqrt{9^2 + 7^2} = \sqrt{81 + 49} = \sqrt{130}
     $$

7. Viết phương trình đường tròn:
   - Phương trình đường tròn có tâm $ O(-4, -9) $ và bán kính $ R = \sqrt{130} $:
     $$
     (x + 4)^2 + (y + 9)^2 = 130
     $$

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm $ A(5, -2) $, $ B(3, 0) $, và $ C(-1, 2) $ là:
$$
(x + 4)^2 + (y + 9)^2 = 130
$$

Câu 3.
Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho.

Mệnh đề a)

Độ dài khoảng cách từ điểm $I(-1;2)$ đến đường thẳng $\Delta: x - 2y + 7 = 0$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

$$ d(I, \Delta) = \frac{|-1 - 2 \cdot 2 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-1 - 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

Vậy mệnh đề a) là Sai vì $d(I, \Delta) = \frac{2}{\sqrt{5}}$, không phải $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

Mệnh đề b)

Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$, bán kính của đường tròn chính là khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$. Do đó, bán kính $r$ của đường tròn là:

$$ r = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

Đường kính của đường tròn là:

$$ 2r = 2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} $$

Vậy mệnh đề b) là Đúng.

Mệnh đề c)

Phương trình đường tròn có tâm $I(-1;2)$ và bán kính $r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ là:

$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} $$

Vậy phương trình đường tròn là:

$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{4}{5} $$

Vậy mệnh đề c) là Đúng.

Mệnh đề d)

Để xác định điểm tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với $\Delta$. Đường thẳng này có dạng:

$$ y - 2 = -2(x + 1) $$
$$ y = -2x $$

Giao điểm của đường thẳng này với $\Delta$ là:

$$ x - 2(-2x) + 7 = 0 $$
$$ x + 4x + 7 = 0 $$
$$ 5x + 7 = 0 $$
$$ x = -\frac{7}{5} $$

Vậy điểm tiếp xúc có hoành độ là $-\frac{7}{5}$, nhỏ hơn 0.

Vậy mệnh đề d) là Sai.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là Sai.
- Mệnh đề b) là Đúng.
- Mệnh đề c) là Đúng.
- Mệnh đề d) là Sai.

Câu 4.
Để giải quyết các mệnh đề, ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).

Bước 1: Tìm tâm của đường tròn (C)

Gọi tâm của đường tròn là $ I(a, b) $. Vì tâm thuộc đường thẳng $\Delta: x - 3y - 11 = 0$, nên ta có:
$$ a - 3b - 11 = 0 \quad \text{(1)} $$

Vì đường tròn đi qua hai điểm $ A(2, 3) $ và $ B(-1, 1) $, nên khoảng cách từ tâm đến hai điểm này bằng nhau:
$$ IA = IB $$

Ta tính khoảng cách $ IA $ và $ IB $:
$$ IA^2 = (a - 2)^2 + (b - 3)^2 $$
$$ IB^2 = (a + 1)^2 + (b - 1)^2 $$

Vì $ IA = IB $, nên:
$$ (a - 2)^2 + (b - 3)^2 = (a + 1)^2 + (b - 1)^2 $$

Mở rộng và giản ước:
$$ a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 = a^2 + 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 $$
$$ -4a + 4 - 6b + 9 = 2a + 1 - 2b + 1 $$
$$ -4a - 6b + 13 = 2a - 2b + 2 $$
$$ -6a - 4b + 11 = 0 \quad \text{(2)} $$

Giải hệ phương trình (1) và (2):
$$ a - 3b - 11 = 0 $$
$$ -6a - 4b + 11 = 0 $$

Nhân phương trình thứ nhất với 6:
$$ 6a - 18b - 66 = 0 $$

Cộng với phương trình thứ hai:
$$ -22b - 55 = 0 $$
$$ b = -\frac{55}{22} = -\frac{5}{2} $$

Thay $ b = -\frac{5}{2} $ vào phương trình (1):
$$ a - 3 \left( -\frac{5}{2} \right) - 11 = 0 $$
$$ a + \frac{15}{2} - 11 = 0 $$
$$ a + \frac{15}{2} - \frac{22}{2} = 0 $$
$$ a - \frac{7}{2} = 0 $$
$$ a = \frac{7}{2} $$

Vậy tâm của đường tròn là $ I \left( \frac{7}{2}, -\frac{5}{2} \right) $.

Bước 2: Kiểm tra các mệnh đề

a) Tâm của đường tròn (C) là $ I(7, -\frac{4}{3}) $
- Sai vì tâm thực tế là $ I \left( \frac{7}{2}, -\frac{5}{2} \right) $.

b) Điểm $ O(0, 0) $ nằm bên trong đường tròn (C)
- Ta tính khoảng cách từ $ O $ đến $ I $:
$$ IO^2 = \left( \frac{7}{2} - 0 \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} - 0 \right)^2 = \left( \frac{7}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \frac{49}{4} + \frac{25}{4} = \frac{74}{4} = 18.5 $$

Ta tính bán kính $ r $ của đường tròn:
$$ r^2 = IA^2 = \left( \frac{7}{2} - 2 \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} - 3 \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( -\frac{11}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{121}{4} = \frac{130}{4} = 32.5 $$

Vì $ IO^2 < r^2 $, nên điểm $ O $ nằm bên trong đường tròn.
- Đúng.

c) Đường kính của đường tròn (C) bằng 65
- Sai vì bán kính $ r = \sqrt{32.5} $, đường kính $ 2r = 2 \sqrt{32.5} \neq 65 $.

d) Đường tròn (C) đi qua điểm $ N(0, 2) $
- Ta tính khoảng cách từ $ N $ đến $ I $:
$$ IN^2 = \left( \frac{7}{2} - 0 \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} - 2 \right)^2 = \left( \frac{7}{2} \right)^2 + \left( -\frac{9}{2} \right)^2 = \frac{49}{4} + \frac{81}{4} = \frac{130}{4} = 32.5 $$

Vì $ IN^2 = r^2 $, nên điểm $ N $ nằm trên đường tròn.
- Đúng.

Kết luận
- Mệnh đề a) Sai
- Mệnh đề b) Đúng
- Mệnh đề c) Sai
- Mệnh đề d) Đúng

Câu 5.
Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của các điểm vào phương trình đường tròn và kiểm tra tính chất của các phương trình tiếp tuyến.

Mệnh đề a: Điểm A thuộc đường tròn

Thay tọa độ của điểm $ A(1, -1) $ vào phương trình đường tròn:
$$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 $$
$$ 1^2 + (-1)^2 - 6 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 6 = 0 $$
$$ 1 + 1 - 6 - 2 + 6 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$

Vậy điểm $ A $ thuộc đường tròn. Mệnh đề a là Đúng.

Mệnh đề b: Điểm B nằm trong đường tròn

Thay tọa độ của điểm $ B(1, 3) $ vào phương trình đường tròn:
$$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 $$
$$ 1^2 + 3^2 - 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 6 = 0 $$
$$ 1 + 9 - 6 + 6 + 6 = 16 \neq 0 $$

Vì kết quả không bằng 0, nên điểm $ B $ không thuộc đường tròn. Để kiểm tra xem điểm $ B $ có nằm trong đường tròn hay không, ta cần biết tâm và bán kính của đường tròn.

Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là:
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 $$

Tâm của đường tròn là $ (3, -1) $ và bán kính là 2.

Khoảng cách từ tâm đến điểm $ B $:
$$ d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} > 2 $$

Vậy điểm $ B $ nằm ngoài đường tròn. Mệnh đề b là Sai.

Mệnh đề c: $ x = 1 $ là phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $ (x_1, y_1) $ là:
$$ (x_1 - 3)(x - 3) + (y_1 + 1)(y + 1) = 4 $$

Thay $ (x_1, y_1) = (1, -1) $:
$$ (1 - 3)(x - 3) + (-1 + 1)(y + 1) = 4 $$
$$ -2(x - 3) + 0(y + 1) = 4 $$
$$ -2x + 6 = 4 $$
$$ -2x = -2 $$
$$ x = 1 $$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $ A $ là $ x = 1 $. Mệnh đề c là Đúng.

Mệnh đề d: Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $ x = 1 $ và $ 3x + 4y - 12 = 0 $

Ta đã biết rằng $ x = 1 $ là phương trình tiếp tuyến tại điểm $ A $. Để kiểm tra phương trình tiếp tuyến thứ hai, ta cần tìm tiếp tuyến đi qua điểm $ B(1, 3) $.

Phương trình tiếp tuyến tổng quát của đường tròn:
$$ (x - 3)(x_1 - 3) + (y + 1)(y_1 + 1) = 4 $$

Thay $ (x_1, y_1) = (1, 3) $:
$$ (x - 3)(1 - 3) + (y + 1)(3 + 1) = 4 $$
$$ (x - 3)(-2) + (y + 1)(4) = 4 $$
$$ -2x + 6 + 4y + 4 = 4 $$
$$ -2x + 4y + 10 = 4 $$
$$ -2x + 4y = -6 $$
$$ x - 2y = 3 $$

Phương trình này không giống $ 3x + 4y - 12 = 0 $. Do đó, mệnh đề d là Sai.

Kết luận:
- Mệnh đề a: Đúng
- Mệnh đề b: Sai
- Mệnh đề c: Đúng
- Mệnh đề d: Sai