hdkakxjsjzj 2. J,Câu 2: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt,động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{12}{29}.$ Tính số học sinh nữ của lớp. 14

Question

Accepted Answer

Gọi số học sinh nữ của lớp là $x$. Vậy số học sinh nam của lớp là $30-x$.

Số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4060$

Số cách chọn 2 học sinh nam từ $30-x$ học sinh nam là $C_{30-x}^2 = \frac{(30-x)!}{2!(30-x-2)!} = \frac{(30-x)(29-x)}{2}$

Số cách chọn 1 học sinh nữ từ $x$ học sinh nữ là $C_{x}^1 = x$

Số cách chọn 2 nam và 1 nữ là $C_{30-x}^2 \cdot C_x^1 = \frac{(30-x)(29-x)}{2} \cdot x$

Theo đề bài, xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{12}{29}$. Ta có phương trình:

$\frac{C_{30-x}^2 \cdot C_x^1}{C_{30}^3} = \frac{12}{29}$

$\frac{\frac{(30-x)(29-x)}{2} \cdot x}{4060} = \frac{12}{29}$

$\frac{(30-x)(29-x)x}{2} = 4060 \cdot \frac{12}{29}$

$(30-x)(29-x)x = 2 \cdot 4060 \cdot \frac{12}{29} = \frac{97440}{29} = 3360$

$(870 - 59x + x^2)x = 3360$

$x^3 - 59x^2 + 870x = 3360$

$x^3 - 59x^2 + 870x - 3360 = 0$

Ta thấy rằng $x=14$ là một nghiệm của phương trình trên.

$14^3 - 59 \cdot 14^2 + 870 \cdot 14 - 3360 = 2744 - 11536 + 12180 - 3360 = 0$

Vậy $x=14$ là một nghiệm. Ta có thể phân tích phương trình thành:

$(x-14)(x^2 - 45x + 240) = 0$

Phương trình $x^2 - 45x + 240 = 0$ có nghiệm là $x = \frac{45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \cdot 240}}{2} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 960}}{2} = \frac{45 \pm \sqrt{1065}}{2}$

$x \approx \frac{45 \pm 32.6}{2}$

$x \approx 38.8$ hoặc $x \approx 6.2$

Vì số học sinh nữ không thể là 38.8 (lớn hơn 30) và $x \in \mathbb{N}$, nên nghiệm $x \approx 6.2$ không phù hợp.

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$.