giải chi tiết

Câu 11: Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $2x - y - z + 5 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (2, -1, -1)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = t \\ z = t \end{array} \right. \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (-2, 1, 1)$. 3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng: Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và vectơ chỉ phương $\vec{d}$. Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{d}}{|\vec{n}| |\vec{d}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{d}$: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = -4 - 1 - 1 = -6 \] Tính độ dài của $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Tính độ dài của $\vec{d}$: \[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Vậy: \[ \cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-6}{6} = -1 \] Do đó: \[ \theta = 180^\circ \] 4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Ta có: \[ \sin \phi = |\cos \theta| = |-1| = 1 \] Do đó: \[ \phi = 90^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là A. $90^\circ$. Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng khái niệm xác suất điều kiện. Xác suất điều kiện $P(A|B)$ là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra. Trước tiên, chúng ta xác định các biến cố: - Biến cố A: Xuất hiện mặt 2 chấm. - Biến cố B: Xuất hiện mặt chẵn. Biến cố B bao gồm các kết quả sau: 2, 4, 6. Biến cố A bao gồm kết quả sau: 2. Khi biết rằng biến cố B đã xảy ra (tức là mặt xúc xắc xuất hiện là một trong các số 2, 4, 6), xác suất của biến cố A (xuất hiện mặt 2 chấm) là: \[ P(A|B) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho cả A và B}}{\text{số kết quả thuận lợi cho B}} = \frac{1}{3} \] Vậy, xác suất $P(A|B)$ là $\frac{1}{3}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}$. Câu 1: a) Đúng vì thay t = 0 vào phương trình đường thẳng d ta được điểm A(1; -1; 0). b) Đúng vì véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u(2;3;2)$ và $\overrightarrow u(-4;-6;-4)=(-2)\times \overrightarrow u(2;3;2).$ c) Sai vì véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u(2;3;2)$ và véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow v(3;1;2).$ Ta có $\frac{2}{3}\ne \frac{3}{1}\ne \frac{2}{2}$ nên hai đường thẳng d và $\Delta$ không song song. d) Sai vì véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u(2;3;2)$ và véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d^\prime$ là $\overrightarrow v(4;-1;3).$ Ta có $\frac{2}{4}\ne \frac{3}{-1}\ne \frac{2}{3}$ nên hai đường thẳng d và $d^\prime$ không chéo nhau. Câu 2: a) Ta thấy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): y = 0$ là $\overrightarrow{n_1} = (0; 1; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{n_1}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). b) Ta thấy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q): \sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ là $\overrightarrow{n_2} = (\sqrt{3}; -1; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{n_2}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). c) Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0; 1; 0) \cdot (\sqrt{3}; -1; 0) = 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1 \] d) Mặt phẳng (R) đi qua điểm $A(2; -1; 3)$ và đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Điều này có nghĩa là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) phải vuông góc với cả $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Ta tính véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) bằng cách lấy tích có hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$: \[ \overrightarrow{n_R} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\mathbf{i} - (0 \cdot 0 - 0 \cdot \sqrt{3})\mathbf{j} + (0 \cdot (-1) - 1 \cdot \sqrt{3})\mathbf{k} = (0; 0; -\sqrt{3}) \] Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $\overrightarrow{n_R} = (0; 0; -\sqrt{3})$. Phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm $A(2; -1; 3)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_R} = (0; 0; -\sqrt{3})$ là: \[ 0(x - 2) + 0(y + 1) - \sqrt{3}(z - 3) = 0 \implies z - 3 = 0 \] Đáp án đúng là d) Mặt phẳng (R) đi qua điểm $A(2; -1; 3)$, đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là: $(R): z - 3 = 0$. Câu 3: a) Ta có tâm của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ của tâm I là: \[ I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2-2}{2}; \frac{-4+0}{2}\right) = I(2; 0; -2) \] b) Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách IA: \[ IA = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (-2+4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Phương trình mặt cầu (S) với tâm I(2; 0; -2) và bán kính 3 là: \[ (x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9 \] Đáp số: a) Tâm của mặt cầu (S) là \( I(2; 0; -2) \) b) Phương trình mặt cầu (S) là \( (x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9 \)