Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ nửa đường tròn (O) đường kính BH cắt AB tại M, nửa đường tròn (O’) đường kính HC cắt AC tại N. a) Chứng...

Bài 2. a) Chứng minh: A, N, H, M cùng thuộc 1 đường tròn. - Xét nửa đường tròn (O) đường kính BH, ta có $\widehat{BMH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Xét nửa đường tròn (O') đường kính HC, ta có $\widehat{CNH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Vì $\widehat{BMH} = 90^\circ$ và $\widehat{CNH} = 90^\circ$, nên $\widehat{AMH} = 90^\circ$ và $\widehat{ANH} = 90^\circ$. - Do đó, tứ giác ANHM có tổng các góc bằng 360° và có hai góc vuông, suy ra A, N, H, M cùng thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh: AM.AB = AN.AC = MN². - Ta có $\widehat{AMH} = 90^\circ$ và $\widehat{ANH} = 90^\circ$, nên AM và AN là các đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác vuông ANM. - Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AM \cdot AB = AH \cdot AB = AN \cdot AC = AH \cdot AC \] và \[ MN^2 = AM \cdot AB = AN \cdot AC \] c) Chứng minh: MN là tiếp tuyến chung của (O) và (O'). - Ta đã chứng minh ở phần b) rằng AM.AB = AN.AC = MN². - Do đó, MN là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O) và (O'), vì MN vuông góc với đường kính BH và HC tại các điểm M và N tương ứng. Đáp số: a) A, N, H, M cùng thuộc 1 đường tròn. b) AM.AB = AN.AC = MN². c) MN là tiếp tuyến chung của (O) và (O').