giúp mình giải với ạ Họ, têm .uunng.....h .. KIỂM TRA 15 PHÚT HỌC KÌ II,NĂM HỌC 2024-2025,Lớp: 12A.2. (Ngày 16/4/2025) MÔN: TOÁN 12,ĐỀ SỐ 02,PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm),Tô đen một đáp án đúng nhất vào bảng trả lời sau:,

1,A) B) () D),2,A) B) (C) D),3,A. B) C) DD
4,,5,B D,6,A. B) C) D

,Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(P):~2x-3y+4=0$ có một vectơ pháp tuyến là,$A.~\overrightarrow{n_1}=(2;-3;4).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$ $C.~\overrightarrow{n_3}=(2;0;-3).$ $D.~\overrightarrow{n_4}=(2;1;3).$,Câu 2: Trong không gian Oxyz , đường thẳng $d:\frac{x-2}1=\frac{y+4}{-3}=z-5$ có một vectơ chỉ phương là,$A.~\overrightarrow{a_1}=(2;-4;5).$ $B.~\overrightarrow{a_2}=(-2;-4;-5).$ $C.~\overrightarrow{a_3}=(1;-3;0).$ $D.~\overrightarrow{a_4}=(1;-3;1).$,Câu 3: Trong không gian Oxyz , mặt cầu $(S):(x-2)^2+(y+3)^2+(z+1)^2=16$ lần lượt có tâm I và bán kính,R là,$A.~I(2;-3;-1);R=4.$ $B.~I(-2;3;1);R=4.$,$C.~I(2;-3;-1);R=256.$ $D.~I(-2;3;1);R=256.$,Câu 4: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(T):~2x-2y+z-10=0$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac{3\sqrt{14}}7.$ C. 2. D. 3.,Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và,$B(4;3;2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+4t\y=3+3t(t\in\mathbb R).\z=4+2t\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=3\z=4-2t\end{array} ight.(t\in\mathbb R)$ $C.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=2-2t\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3t~(t\in\mathbb R).\z=2-2t\end{array} ight.$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}3=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}4$ và $d_2:\frac{x+3}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+6}{-1}.$,Khẳng định đúng là,$A.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $B.~d_1$ và $d_2$ song song.,$C.~d_1$ và $d_2$ cắt nhau. $D.~d_1$ và $d_2$ chéo nhau.,PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm),Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S) bằng cách ghi tô đen vào ô,tương ứng,Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1\y=-1+t(t\in\mathbb R).\z=t\end{array} ight.$,a) Các vectơ pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d là $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1),~\overrightarrow{u_d}=(0;1;1)$,b) Sin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d bằng $\frac12.$

Question

giúp mình giải với ạ Họ, têm .uunng.....h          .. KIỂM TRA 15 PHÚT HỌC KÌ II,NĂM HỌC 2024-2025,Lớp: 12A.2. (Ngày 16/4/2025) MÔN: TOÁN 12,ĐỀ SỐ 02,PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm),Tô đen một đáp án đúng nhất vào bảng trả lời sau:,

1,A) B) () D),2,A) B) (C) D),3,A. B) C) DD
4,,5,B D,6,A. B) C) D

,Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(P):~2x-3y+4=0$ có một vectơ pháp tuyến là,$A.~\overrightarrow{n_1}=(2;-3;4).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$ $C.~\overrightarrow{n_3}=(2;0;-3).$ $D.~\overrightarrow{n_4}=(2;1;3).$,Câu 2: Trong không gian Oxyz , đường thẳng $d:\frac{x-2}1=\frac{y+4}{-3}=z-5$ có một vectơ chỉ phương là,$A.~\overrightarrow{a_1}=(2;-4;5).$ $B.~\overrightarrow{a_2}=(-2;-4;-5).$ $C.~\overrightarrow{a_3}=(1;-3;0).$ $D.~\overrightarrow{a_4}=(1;-3;1).$,Câu 3: Trong không gian Oxyz , mặt cầu $(S):(x-2)^2+(y+3)^2+(z+1)^2=16$ lần lượt có tâm I và bán kính,R là,$A.~I(2;-3;-1);R=4.$ $B.~I(-2;3;1);R=4.$,$C.~I(2;-3;-1);R=256.$ $D.~I(-2;3;1);R=256.$,Câu 4: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(T):~2x-2y+z-10=0$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac{3\sqrt{14}}7.$ C. 2. D. 3.,Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và,$B(4;3;2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+4t\y=3+3t(t\in\mathbb R).\z=4+2t\end{array}ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=3\z=4-2t\end{array}ight.(t\in\mathbb R)$ $C.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=2-2t\end{array}ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3t~(t\in\mathbb R).\z=2-2t\end{array}ight.$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}3=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}4$ và $d_2:\frac{x+3}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+6}{-1}.$,Khẳng định đúng là,$A.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $B.~d_1$ và $d_2$ song song.,$C.~d_1$ và $d_2$ cắt nhau. $D.~d_1$ và $d_2$ chéo nhau.,PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm),Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S) bằng cách ghi tô đen vào ô,tương ứng,Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1\y=-1+t(t\in\mathbb R).\z=t\end{array}ight.$,a) Các vectơ pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d là $\overrightarrow{n_P}=(1;0;1),~\overrightarrow{u_d}=(0;1;1)$,b) Sin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d bằng $\frac12.$

Accepted Answer

Câu 1:
Mặt phẳng $(P):~2x-3y+4=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$. Trong đó, $A$, $B$, $C$ là các hệ số của $x$, $y$, $z$ tương ứng, và $D$ là hằng số.

Đối với mặt phẳng $(P):~2x - 3y + 4 = 0$, ta có:
- $A = 2$
- $B = -3$
- $C = 0$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(A, B, C)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(2, -3, 0)$.

Trong các lựa chọn đã cho:
- A. $\overrightarrow{n_1} = (2, -3, 4)$
- B. $\overrightarrow{n_2} = (2, -3, 0)$
- C. $\overrightarrow{n_3} = (2, 0, -3)$
- D. $\overrightarrow{n_4} = (2, 1, 3)$

Chúng ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là $\overrightarrow{n_2} = (2, -3, 0)$.

Vậy đáp án đúng là B. $\overrightarrow{n_2} = (2, -3, 0)$.

Câu 2:
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ trong không gian Oxyz, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ là:
$$ \frac{x-2}{1} = \frac{y+4}{-3} = z-5 $$

Từ phương trình này, ta thấy rằng đường thẳng $ d $ có dạng:
$$ x = t + 2 $$
$$ y = -3t - 4 $$
$$ z = t + 5 $$

Trong đó, $ t $ là tham số. Từ đây, ta nhận thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ là $ \overrightarrow{a} = (1, -3, 1) $.

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ \overrightarrow{a_4} = (1, -3, 1) $

Đáp số: D. $ \overrightarrow{a_4} = (1, -3, 1) $

Câu 3:
Mặt cầu $(S):(x-2)^2+(y+3)^2+(z+1)^2=16$ có dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a, b, c)$ và bán kính là $R$.

So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với dạng chuẩn:
- Ta thấy $(x-2)^2$ tương ứng với $(x-a)^2$, suy ra $a = 2$.
- $(y+3)^2$ tương ứng với $(y-b)^2$, suy ra $b = -3$.
- $(z+1)^2$ tương ứng với $(z-c)^2$, suy ra $c = -1$.
- $16$ tương ứng với $R^2$, suy ra $R = \sqrt{16} = 4$.

Do đó, tâm của mặt cầu là $I(2, -3, -1)$ và bán kính là $R = 4$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $I(2, -3, -1); R = 4$.

Câu 4:
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(1;2;3) $ đến mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 10 = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách $ d $ từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
- Điểm $ M(1;2;3) $ có tọa độ $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 3) $
- Mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 10 = 0 $ có các hệ số $ a = 2 $, $ b = -2 $, $ c = 1 $, và $ d = -10 $

Thay vào công thức:
$$ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 10|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} $$
$$ d = \frac{|2 - 4 + 3 - 10|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} $$
$$ d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{9}{3} $$
$$ d = 3 $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(1;2;3) $ đến mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 10 = 0 $ là 3.

Đáp án đúng là: D. 3

Câu 5:
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và $B(4;3;2)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng:
   Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ là:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (4 - 2, 3 - 3, 2 - 4) = (2, 0, -2)
   $$

2. Lập phương trình tham số:
   Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;3;4)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2, 0, -2)$ là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 2t \
   y = 3 + 0t \
   z = 4 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$

3. So sánh với các đáp án:
   Ta thấy phương trình tham số trên đúng với đáp án B:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 2t \
   y = 3 \
   z = 4 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và $B(4;3;2)$ là:
$$
\boxed{B.\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\y=3\z=4-2t\end{array}\right.(t\in\mathbb R)}
$$

Câu 6:
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, cắt hoặc chéo nhau.

1. Kiểm tra điều kiện song song:
   - Đường thẳng $ d_1 $ có vectơ chỉ phương $ \vec{u}_1 = (3, -1, 4) $.
   - Đường thẳng $ d_2 $ có vectơ chỉ phương $ \vec{u}_2 = (1, -2, -1) $.

Ta kiểm tra xem liệu $ \vec{u}_1 $ và $ \vec{u}_2 $ có cùng phương hay không:
   $$
   \frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-2} \neq \frac{4}{-1}
   $$
   Vì các tỷ lệ này không bằng nhau, nên $ \vec{u}_1 $ và $ \vec{u}_2 $ không cùng phương. Do đó, $ d_1 $ và $ d_2 $ không song song.

2. Kiểm tra điều kiện cắt nhau:
   - Đường thẳng $ d_1 $ có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = -1 + 3t \
     y = 2 - t \
     z = -1 + 4t
     \end{cases}
     $$
   - Đường thẳng $ d_2 $ có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = -3 + s \
     y = 1 - 2s \
     z = -6 - s
     \end{cases}
     $$

Để hai đường thẳng cắt nhau, tồn tại $ t $ và $ s $ sao cho:
   $$
   \begin{cases}
   -1 + 3t = -3 + s \
   2 - t = 1 - 2s \
   -1 + 4t = -6 - s
   \end{cases}
   $$

Ta giải hệ phương trình này:
   - Từ phương trình thứ nhất:
     $$
     -1 + 3t = -3 + s \implies s = 2 + 3t
     $$
   - Thay vào phương trình thứ hai:
     $$
     2 - t = 1 - 2(2 + 3t) \implies 2 - t = 1 - 4 - 6t \implies 2 - t = -3 - 6t \implies 5t = -5 \implies t = -1
     $$
   - Thay $ t = -1 $ vào $ s = 2 + 3t $:
     $$
     s = 2 + 3(-1) = -1
     $$
   - Kiểm tra phương trình thứ ba:
     $$
     -1 + 4(-1) = -6 - (-1) \implies -1 - 4 = -6 + 1 \implies -5 = -5
     $$
   Phương trình này đúng, do đó $ t = -1 $ và $ s = -1 $ là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ cắt nhau tại điểm có tọa độ:
$$
x = -1 + 3(-1) = -4, \quad y = 2 - (-1) = 3, \quad z = -1 + 4(-1) = -5
$$
Điểm giao là $ (-4, 3, -5) $.

Kết luận: Khẳng định đúng là C. $ d_1 $ và $ d_2 $ cắt nhau.

Câu 7:
Để giải quyết yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các vectơ pháp tuyến và chỉ phương

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Mặt phẳng $(P):~x + z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là:
$$ \overrightarrow{n_P} = (1; 0; 1) $$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Đường thẳng $d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 \
y = -1 + t \
z = t
\end{array}
\right.$ có vectơ chỉ phương là:
$$ \overrightarrow{u_d} = (0; 1; 1) $$

Bước 2: Tính sin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d

Công thức tính sin của góc giữa một mặt phẳng và một đường thẳng
$$ \sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d}|}{|\overrightarrow{n_P}| |\overrightarrow{u_d}|} $$

Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d}$
$$ \overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d} = (1; 0; 1) \cdot (0; 1; 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 $$

Tính độ dài của các vectơ
$$ |\overrightarrow{n_P}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
$$ |\overrightarrow{u_d}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

Thay vào công thức
$$ \sin(\theta) = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$

Kết luận
Sin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là:
$$ \sin(\theta) = \frac{1}{2} $$

Đáp số: $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$