giúp mình giảii hết với ạaa Họ, tên: Trần Thúy Quỳnh KIỂM TRA 15 PHÚT HỌC KÌ II,NĂM HỌC 2024-2025,Lớp: 12Anh (Ngày 16/4/2025) MÔN: TOÁN 12,ĐỀ SỐ 01,PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm),Tô đen một đáp án đúng nhất vào bảng trả lời sau:, 1,,2,,3, 4,,5,,6, ,Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(P):~2x-3z+4=0$ có một vectơ pháp tuyến là,$A.~\overrightarrow n=(2;-3;4).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$ $C.~\overrightarrow B=(2;0;-3).$ $D.~\overrightarrow{n_1}=(2;1;3)$,Câu 2: Trong không gian Oxyz , đường thẳng $d:~\frac{x-1}2=\frac{y+3}{-4}=\frac z5=\frac z5$ có một vectơ chỉ phương là,$A.~\overrightarrow{\alpha_i}=(2;-4;5).$ $B.~\overrightarrow{a_2}=(-2;-4;-5).$ $C.~\overrightarrow{a_3}=(1;-3;0).$ $D.~\overrightarrow{a_k}=(-1;3;0).$,Câu 3: Trong không gian Oxz , mặt cầu $(S):~(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=16$ lần lượt có tâm / và bán kính,R là,$A.~I(2;-3;-1);R=4.$ $B.~I(-2;3;1);R=4.$,$C.~I(2;-3;-1);R=256.$ $D.~I(-2;3;1);R=256.$,Câu 4: Trong không gian Oxz ,, khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ (đến mặt phẳng $(T):~2x-2y+z-7=0$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac{3\sqrt{14}}2.$ C. 2. D. 3.,Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và,$B(4;3;2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+4t\y=3+3t(t\in\mathbb R).\x=4+2t\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=3+r~(t\in\mathbb R).C.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3\z=2-2t\end{array} ight.(t\in\mathbb R).\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3t\x=2-2t\end{array} ight.(t\in\mathbb R).$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}3=\frac{y-2}{-1}=\frac{x+1}4$ và $d_1:\frac{x+3}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{x+4}1$,Khẳng định đúng là,$A.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $B.~d.$ và $d_0$ song song.,$C.~d_1.$ và $d_2$ cắt nhau. $D.~d_1$ và $d.$ chéo nhau.,PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm),Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S) bằng cách ghi tô đen vào ô,tương ứng,Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~y+z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-1~(r=-8)\x=t\end{array} ight.$,a) Các vectơ pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d là $\overrightarrow{a_c}=(0;2;1),~\overrightarrow{u_c}=(1;0;1)$,,b) Côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d bằng $\frac12.$,Trang 1/4

Question

giúp mình giảii hết với ạaa Họ, tên: Trần Thúy Quỳnh KIỂM TRA 15 PHÚT HỌC KÌ II,NĂM HỌC 2024-2025,Lớp: 12Anh (Ngày 16/4/2025) MÔN: TOÁN 12,ĐỀ SỐ 01,PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm),Tô đen một đáp án đúng nhất vào bảng trả lời sau:, 1,,2,,3,

4,,5,,6,

,Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(P):~2x-3z+4=0$ có một vectơ pháp tuyến là,$A.~\overrightarrow n=(2;-3;4).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$ $C.~\overrightarrow B=(2;0;-3).$ $D.~\overrightarrow{n_1}=(2;1;3)$,Câu 2: Trong không gian Oxyz , đường thẳng $d:~\frac{x-1}2=\frac{y+3}{-4}=\frac z5=\frac z5$ có một vectơ chỉ phương là,$A.~\overrightarrow{\alpha_i}=(2;-4;5).$ $B.~\overrightarrow{a_2}=(-2;-4;-5).$ $C.~\overrightarrow{a_3}=(1;-3;0).$ $D.~\overrightarrow{a_k}=(-1;3;0).$,Câu 3: Trong không gian Oxz , mặt cầu $(S):~(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=16$ lần lượt có tâm / và bán kính,R là,$A.~I(2;-3;-1);R=4.$ $B.~I(-2;3;1);R=4.$,$C.~I(2;-3;-1);R=256.$ $D.~I(-2;3;1);R=256.$,Câu 4: Trong không gian Oxz ,, khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ (đến mặt phẳng $(T):~2x-2y+z-7=0$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac{3\sqrt{14}}2.$ C. 2. D. 3.,Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và,$B(4;3;2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+4t\y=3+3t(t\in\mathbb R).\x=4+2t\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=3+r~(t\in\mathbb R).C.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3\z=2-2t\end{array} ight.(t\in\mathbb R).\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=3t\x=2-2t\end{array} ight.(t\in\mathbb R).$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}3=\frac{y-2}{-1}=\frac{x+1}4$ và $d_1:\frac{x+3}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{x+4}1$,Khẳng định đúng là,$A.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $B.~d.$ và $d_0$ song song.,$C.~d_1.$ và $d_2$ cắt nhau. $D.~d_1$ và $d.$ chéo nhau.,PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm),Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S) bằng cách ghi tô đen vào ô,tương ứng,Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~y+z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-1~(r=-8)\x=t\end{array} ight.$,a) Các vectơ pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d là $\overrightarrow{a_c}=(0;2;1),~\overrightarrow{u_c}=(1;0;1)$,

,b) Côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d bằng $\frac12.$,Trang 1/4

Accepted Answer

Câu 1:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P):~2x-3z+4=0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow{n}=(2;-3;4).$

B. $\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$

C. $\overrightarrow{B}=(2;0;-3).$

D. $\overrightarrow{n_1}=(2;1;3).$

Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~2x-3z+4=0$, ta cần nhận biết rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$ là $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$.

Trong trường hợp này, phương trình mặt phẳng là $2x - 3z + 4 = 0$. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng $2x + 0y - 3z + 4 = 0$ để dễ dàng nhận ra các hệ số.

Từ đó, ta thấy:
- Hệ số của $x$ là 2.
- Hệ số của $y$ là 0.
- Hệ số của $z$ là -3.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2, 0, -3)$.

So sánh với các lựa chọn đã cho:
A. $\overrightarrow{n}=(2;-3;4).$
B. $\overrightarrow{n_2}=(2;-3;0).$
C. $\overrightarrow{B}=(2;0;-3).$
D. $\overrightarrow{n_1}=(2;1;3).$

Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là $\overrightarrow{B}=(2;0;-3)$.

Vậy đáp án đúng là:
C. $\overrightarrow{B}=(2;0;-3).$

Câu 2:
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ trong không gian Oxyz, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ được cho dưới dạng:

$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-4} = \frac{z}{5} $$

Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của các phân số tương ứng với các biến $ x, y, z $ chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ sẽ là:

$$ \overrightarrow{a} = (2, -4, 5) $$

Bây giờ, ta kiểm tra các đáp án đã cho để xác định vectơ chỉ phương đúng:

A. $ \overrightarrow{\alpha_1} = (2, -4, 5) $

B. $ \overrightarrow{a_2} = (-2, -4, -5) $

C. $ \overrightarrow{a_3} = (1, -3, 0) $

D. $ \overrightarrow{a_4} = (-1, 3, 0) $

Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng với vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $.

Vậy, đáp án đúng là:

A. $ \overrightarrow{\alpha_1} = (2, -4, 5) $

Câu 3:
Mặt cầu $(S):~(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=16$ có dạng chuẩn là $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a,b,c)$ và bán kính là $R$.

So sánh phương trình $(S)$ với phương trình chuẩn:
- Ta thấy $(x+2)^2 = (x - (-2))^2$, do đó $a = -2$.
- $(y-3)^2$ cho ta $b = 3$.
- $(z-1)^2$ cho ta $c = 1$.
- $R^2 = 16$, suy ra $R = \sqrt{16} = 4$.

Vậy tâm của mặt cầu là $I(-2, 3, 1)$ và bán kính là $R = 4$.

Do đó, đáp án đúng là:
B. $I(-2;3;1);R=4$.

Câu 4:
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(1;2;3) $ đến mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 7 = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
- Điểm $ M(1;2;3) $ có tọa độ $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 3) $
- Mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 7 = 0 $ có các hệ số $ a = 2 $, $ b = -2 $, $ c = 1 $, $ d = -7 $

Thay vào công thức:
$$ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 7|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} $$
$$ d = \frac{|2 - 4 + 3 - 7|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} $$
$$ d = \frac{|-6|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{6}{3} $$
$$ d = 2 $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(1;2;3) $ đến mặt phẳng $ (T): 2x - 2y + z - 7 = 0 $ là 2.

Đáp án đúng là: C. 2.

Câu 5:
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;4)$ và $B(4;3;2)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ là:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (4 - 2, 3 - 3, 2 - 4) = (2, 0, -2)
   $$

2. Lập phương trình tham số:
   Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;3;4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2, 0, -2)$ là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 2t \
   y = 3 + 0t \
   z = 4 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 2t \
   y = 3 \
   z = 4 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$

3. So sánh với các đáp án:
   Ta thấy rằng phương trình tham số đúng là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 2t \
   y = 3 \
   z = 4 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $\left\{\begin{array}{l}x = 4 + 2t \ y = 3 \ z = 2 - 2t\end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}$

Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng đáp án C đã bị viết sai so với phương trình tham số đúng. Đáp án đúng nên là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = 3 \
z = 4 - 2t
\end{array}
\right., \quad t \in \mathbb{R}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{C. \left\{\begin{array}{l}x = 2 + 2t \ y = 3 \ z = 4 - 2t\end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}}
$$

Câu 6:
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ trong không gian, ta cần kiểm tra các điều kiện về vị trí tương đối của chúng.

Đường thẳng $ d_1 $ có phương trình:
$$ d_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+1}{4} $$

Đường thẳng $ d_2 $ có phương trình:
$$ d_2: \frac{x+3}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+4}{1} $$

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là:
$$ \vec{u}_1 = (3, -1, 4) $$

Vectơ chỉ phương của $ d_2 $ là:
$$ \vec{u}_2 = (1, -2, 1) $$

Bước 2: Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không.

Ta thấy rằng:
$$ \vec{u}_1 \neq k \cdot \vec{u}_2 $$
với mọi số thực $ k $. Do đó, hai vectơ chỉ phương không cùng phương, suy ra hai đường thẳng không song song hoặc trùng nhau.

Bước 3: Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không.

Ta viết phương trình tham số của mỗi đường thẳng:
$$ d_1: \left\{
    \begin{array}{l}
        x = -1 + 3t \
        y = 2 - t \
        z = -1 + 4t
    \end{array}
\right. $$

$$ d_2: \left\{
    \begin{array}{l}
        x = -3 + s \
        y = 1 - 2s \
        z = -4 + s
    \end{array}
\right. $$

Để hai đường thẳng cắt nhau, tồn tại $ t $ và $ s $ sao cho:
$$ -1 + 3t = -3 + s $$
$$ 2 - t = 1 - 2s $$
$$ -1 + 4t = -4 + s $$

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình thứ nhất:
$$ 3t - s = -2 \quad \text{(1)} $$

Từ phương trình thứ hai:
$$ -t + 2s = -1 \quad \text{(2)} $$

Từ phương trình thứ ba:
$$ 4t - s = -3 \quad \text{(3)} $$

Ta có hệ phương trình:
$$ \left\{
    \begin{array}{l}
        3t - s = -2 \
        -t + 2s = -1 \
        4t - s = -3
    \end{array}
\right. $$

Giải phương trình (1) và (2):
Nhân phương trình (2) với 3:
$$ -3t + 6s = -3 $$

Cộng với phương trình (1):
$$ 5s = -5 \Rightarrow s = -1 $$

Thay $ s = -1 $ vào phương trình (1):
$$ 3t + 1 = -2 \Rightarrow 3t = -3 \Rightarrow t = -1 $$

Kiểm tra lại với phương trình (3):
$$ 4(-1) - (-1) = -4 + 1 = -3 $$
Phương trình (3) thỏa mãn.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $ t = -1 $ và $ s = -1 $.

Kết luận: Khẳng định đúng là C. $ d_1 $ và $ d_2 $ cắt nhau.

Câu 7:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các vectơ pháp tuyến và chỉ phương

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Mặt phẳng $(P): y + z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là:
$$ \overrightarrow{n_P} = (0, 1, 1) $$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d
Đường thẳng $d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + t \
y = -1 \
z = t
\end{array}
\right.$ có vectơ chỉ phương là:
$$ \overrightarrow{u_d} = (1, 0, 1) $$

Bước 2: Tính cosin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d

Công thức tính cosin của góc giữa một mặt phẳng và một đường thẳng là:
$$ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d}|}{|\overrightarrow{n_P}| |\overrightarrow{u_d}|} $$

Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d}$
$$ \overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{u_d} = (0, 1, 1) \cdot (1, 0, 1) = 0 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1 $$

Tính độ dài của các vectơ
$$ |\overrightarrow{n_P}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
$$ |\overrightarrow{u_d}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

Tính cosin của góc
$$ \cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$

Kết luận
Côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là:
$$ \cos \theta = \frac{1}{2} $$

Đáp số: $\cos \theta = \frac{1}{2}$