giúp em với ạ Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-7}1$ và,$d_2:\frac{x-5}1=\frac{x+2}1=\frac{x-4}2.$ Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2.$,$A.~(d_1,d_2)=30^0.$ $B.~(d_1,d_2)=60^0.$ $C.~(d_1,d_2)=45^0.$ $D.~(d_1,d_2)=90^0.$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3t\z=1-t\end{array} ight..$ Tìm một vectơ chỉ phương,của đường thẳng $d.$,$A.~\overrightarrow a=(1;0;1).$ $B.~\overrightarrow a=(2;3;-1).$ $C.~\overrightarrow a=(2;-3;1).$ $D.~\overrightarrow a=(2;3;1).$,Câu 7: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-7=0.$,$A.~I(1;2;-2),~R=2\sqrt2.$ $B.~I(1;2;-2),~R=4.$,$C.~I(-1;-2;2),~R=4.$ $D.~I(1;2;-2),~R=\sqrt2.$,Câu 8: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9.$,$A.~I(-1;2;-3),~R=3.$ $B.~I(-1;2;-3),~R=9.$,$C.~I(1;-2;3),~R=3.$ $D.~I(1;-2;3),~R=9.$,Câu 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=t\y=-2+2t\z=3t\end{array} ight.$ và đường thẳng,$d_2:\frac{x-1}2=\frac y4=\frac{z-3}6.$,$A.~d_1$ và $d_2$ chéo nhau. $B.~d_1$ và $d_2$ song song nhau.,$C.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $D.~d_1$ và $d_2$ cắt nhau.,âu 10: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $A(1;-3;2)$ và đi qu,ểm $B(5;-1;4).$,$A.~(S):(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=24.$ $B.~(S):(x+1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=24.$,$C.~(S):(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=\sqrt{24}.$ $D.~(S):(x-5)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=24.$,----- HẾT -----

Question

giúp em với ạ Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}2=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-7}1$ và,$d_2:\frac{x-5}1=\frac{x+2}1=\frac{x-4}2.$ Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2.$,$A.~(d_1,d_2)=30^0.$ $B.~(d_1,d_2)=60^0.$ $C.~(d_1,d_2)=45^0.$ $D.~(d_1,d_2)=90^0.$,Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3t\z=1-t\end{array}ight..$ Tìm một vectơ chỉ phương,của đường thẳng $d.$,$A.~\overrightarrow a=(1;0;1).$ $B.~\overrightarrow a=(2;3;-1).$ $C.~\overrightarrow a=(2;-3;1).$ $D.~\overrightarrow a=(2;3;1).$,Câu 7: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-7=0.$,$A.~I(1;2;-2),~R=2\sqrt2.$ $B.~I(1;2;-2),~R=4.$,$C.~I(-1;-2;2),~R=4.$ $D.~I(1;2;-2),~R=\sqrt2.$,Câu 8: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9.$,$A.~I(-1;2;-3),~R=3.$ $B.~I(-1;2;-3),~R=9.$,$C.~I(1;-2;3),~R=3.$ $D.~I(1;-2;3),~R=9.$,Câu 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=t\y=-2+2t\z=3t\end{array}ight.$ và đường thẳng,$d_2:\frac{x-1}2=\frac y4=\frac{z-3}6.$,$A.~d_1$ và $d_2$ chéo nhau. $B.~d_1$ và $d_2$ song song nhau.,$C.~d_1$ và $d_2$ trùng nhau. $D.~d_1$ và $d_2$ cắt nhau.,âu 10: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $A(1;-3;2)$ và đi qu,ểm $B(5;-1;4).$,$A.~(S):(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=24.$ $B.~(S):(x+1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=24.$,$C.~(S):(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=\sqrt{24}.$ $D.~(S):(x-5)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=24.$,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 5:
Để tính số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $d_1$ có phương trình: $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-7}{1}$. 
     Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u}_1 = (2, -1, 1)$.

- Đường thẳng $d_2$ có phương trình: $\frac{x-5}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{2}$.
     Vectơ chỉ phương của $d_2$ là $\vec{u}_2 = (1, 1, 2)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 - 1 + 2 = 3
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
   $$

5. Xác định góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ
   $$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $60^\circ$.

Đáp án đúng là: B. $(d_1, d_2) = 60^\circ$.

Câu 6:
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $, ta cần xác định các hệ số của tham số $ t $ trong phương trình tham số của đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ là:
$$ 
d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 2t \
y = 3t \
z = 1 - t
\end{array}
\right.
$$

Từ phương trình trên, ta thấy:
- Khi $ t $ thay đổi, $ x $ thay đổi theo hệ số 2.
- Khi $ t $ thay đổi, $ y $ thay đổi theo hệ số 3.
- Khi $ t $ thay đổi, $ z $ thay đổi theo hệ số -1.

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số này. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ là:
$$ 
\overrightarrow{a} = (2, 3, -1)
$$

Vậy đáp án đúng là:
B. $ \overrightarrow{a} = (2, 3, -1) $

Đáp số: B. $ \overrightarrow{a} = (2, 3, -1) $

Câu 7:
Để tìm tọa độ tâm $ I $ và bán kính $ R $ của mặt cầu $(S):~x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 4z - 7 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương.
$$
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 4z - 7 = 0
$$

Bước 2: Nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $, $ y $, và $ z $ lại và hoàn thành bình phương.
$$
(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 + 4z) = 7
$$

Bước 3: Hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm.
$$
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 2)^2 - 4 = 7
$$
$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 - 9 = 7
$$
$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 16
$$

Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta nhận thấy:
$$
a = 1,~b = 2,~c = -2,~R^2 = 16
$$

Do đó, tâm $ I $ của mặt cầu là $ (1, 2, -2) $ và bán kính $ R $ là $ 4 $.

Vậy đáp án đúng là:
B. $ I(1; 2; -2),~R = 4 $.

Câu 8:
Phương trình của mặt cầu $(S)$ được cho là $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$.

Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính.

So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có:
- Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(a, b, c) = I(1, -2, 3)$.
- Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3$.

Do đó, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:
- Tâm I: $(1, -2, 3)$
- Bán kính R: $3$

Vậy đáp án đúng là:
C. $I(1, -2, 3), R = 3$.

Câu 9:
Câu hỏi 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}lx=t\y=-2+2t\z=3t\end{array}\right.$ và đường thẳng $d_2:\frac{x-1}2=\frac y4=\frac{z-3}6.$

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta cần so sánh các vectơ chỉ phương của chúng.

- Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (1, 2, 3)$.
- Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (2, 4, 6)$.

Ta thấy rằng $\vec{u}_2 = 2 \cdot \vec{u}_1$. Điều này chứng tỏ hai vectơ chỉ phương là bội của nhau, tức là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Tiếp theo, ta kiểm tra xem hai đường thẳng có điểm chung hay không. Ta thay tọa độ của một điểm thuộc $d_1$ vào phương trình của $d_2$ để kiểm tra.

Lấy điểm $(0, -2, 0)$ thuộc $d_1$ (khi $t = 0$):
- Thay vào phương trình của $d_2$: $\frac{0-1}{2} = \frac{-2}{4} = \frac{0-3}{6}$.
- Kết quả là $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, đúng.

Do đó, hai đường thẳng có điểm chung và trùng nhau.

Đáp án: C. $d_1$ và $d_2$ trùng nhau.

Câu hỏi 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $A(1, -3, 2)$ và đi qua điểm $B(5, -1, 4)$.

Phương trình mặt cầu có tâm $A(a, b, c)$ và bán kính $R$ là:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$

Trước tiên, ta tính bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $A$ đến điểm $B$:
$$ R = AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-1 + 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 24 $$

Đáp án: A. $(S):(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 24$.