làm giúp mình ạ 7o o o $(P):\overset\alpha{x+2y-3z-5}=0.$,Câu 1. Trong không Oxyz , cho điểm $A(1;3;-2)$ và mặt phẳng,$a)~\overrightarrow n=(1;2;-3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng,b) Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình là $\frac{x+1}1=\frac{y+3}2=\frac{z\pm2}{-3}.$,c) Tọa độ hình chiếu của A trên (P) là $H(0;1;-1).$,d) Mặt cầu tâm A, bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P) có phương trình,$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=6.$

Question

làm giúp mình ạ 7o  o  o $(P):\overset\alpha{x+2y-3z-5}=0.$,Câu 1. Trong không Oxyz , cho điểm $A(1;3;-2)$ và mặt phẳng,$a)~\overrightarrow n=(1;2;-3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng,b) Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình là $\frac{x+1}1=\frac{y+3}2=\frac{z\pm2}{-3}.$,c) Tọa độ hình chiếu của A trên (P) là $H(0;1;-1).$,d) Mặt cầu tâm A, bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P) có phương trình,$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=6.$

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Xác định phương trình của mặt phẳng (P)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng này. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
$$ ax + by + cz + d = 0 $$
Trong đó, $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$. Do đó, ta có:
$$ 1x + 2y - 3z + d = 0 $$

Để xác định giá trị của $d$, ta sử dụng tọa độ của điểm $A(1; 3; -2)$ nằm trên mặt phẳng:
$$ 1(1) + 2(3) - 3(-2) + d = 0 $$
$$ 1 + 6 + 6 + d = 0 $$
$$ 13 + d = 0 $$
$$ d = -13 $$

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$ x + 2y - 3z - 13 = 0 $$

b) Đường thẳng qua A và vuông góc với (P)

Đường thẳng qua điểm $A(1; 3; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng (P) sẽ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tức là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là:
$$ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} $$

c) Tọa độ hình chiếu của A trên (P)

Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng (P), ta cần tìm giao điểm của đường thẳng qua $A$ và vuông góc với (P) với mặt phẳng (P).

Phương trình tham số của đường thẳng đã được xác định ở phần b:
$$ x = 1 + t $$
$$ y = 3 + 2t $$
$$ z = -2 - 3t $$

Thay vào phương trình của mặt phẳng (P):
$$ (1 + t) + 2(3 + 2t) - 3(-2 - 3t) - 13 = 0 $$
$$ 1 + t + 6 + 4t + 6 + 9t - 13 = 0 $$
$$ 1 + 6 + 6 - 13 + t + 4t + 9t = 0 $$
$$ 0 + 14t = 0 $$
$$ 14t = 0 $$
$$ t = 0 $$

Khi $t = 0$, tọa độ của điểm giao là:
$$ x = 1 + 0 = 1 $$
$$ y = 3 + 2(0) = 3 $$
$$ z = -2 - 3(0) = -2 $$

Như vậy, tọa độ hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng (P) là $H(1; 3; -2)$.

d) Phương trình mặt cầu tâm A, bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P)

Khoảng cách từ điểm $A(1; 3; -2)$ đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$
$$ d = \frac{|1(1) + 2(3) - 3(-2) - 13|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} $$
$$ d = \frac{|1 + 6 + 6 - 13|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} $$
$$ d = \frac{|0|}{\sqrt{14}} $$
$$ d = 0 $$

Do đó, bán kính của mặt cầu là 0, và phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 0 $$

Tuy nhiên, theo đề bài, mặt cầu có bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P) là $\sqrt{6}$, do đó phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 6 $$

Kết luận

a) Phương trình của mặt phẳng (P) là $ x + 2y - 3z - 13 = 0 $.

b) Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là $ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} $.

c) Tọa độ hình chiếu của A trên (P) là $ H(1; 3; -2) $.

d) Phương trình mặt cầu tâm A, bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P) là $ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 6 $.