kkkkkkkkccxxxo

Câu 2. Gọi số tiền nhà đầu tư bỏ vào quỹ cổ phiếu A là \( x \) (triệu đồng), số tiền nhà đầu tư bỏ vào quỹ trái phiếu B là \( y \) (triệu đồng). Ta có các điều kiện: 1. Tổng số vốn là 5000 triệu đồng: \[ x + y = 5000 \] 2. Số tiền đầu tư vào quỹ trái phiếu B ít nhất là 1200 triệu đồng: \[ y \geq 1200 \] 3. Số tiền đầu tư vào quỹ cổ phiếu A không vượt quá 3200 triệu đồng: \[ x \leq 3200 \] Tổng lợi nhuận hàng năm từ hai quỹ là: \[ N = 0.1x + 0.08y \] Thay \( y = 5000 - x \) vào biểu thức lợi nhuận: \[ N = 0.1x + 0.08(5000 - x) \] \[ N = 0.1x + 400 - 0.08x \] \[ N = 0.02x + 400 \] Để tối đa hóa lợi nhuận \( N \), ta cần tối đa hóa \( x \). Tuy nhiên, \( x \) bị giới hạn bởi điều kiện \( x \leq 3200 \). Do đó, ta chọn \( x = 3200 \): \[ y = 5000 - 3200 = 1800 \] Kiểm tra điều kiện \( y \geq 1200 \): \[ 1800 \geq 1200 \] (đúng) Vậy, tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là: \[ N = 0.02 \times 3200 + 400 \] \[ N = 64 + 400 \] \[ N = 464 \] Đáp số: Tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là 464 triệu đồng. Câu 3. Để tính khoảng cách từ O đến B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm D(50, 80, 0) và vuông góc với đường thẳng OA. - Vector OA = (20, 40, 60). Mặt phẳng (P) có phương pháp vuông góc với OA, do đó vector pháp tuyến của (P) là (20, 40, 60). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 20(x - 50) + 40(y - 80) + 60(z - 0) = 0 \] \[ 20x + 40y + 60z - 1000 - 3200 = 0 \] \[ 20x + 40y + 60z - 4200 = 0 \] Chia cả phương trình cho 20: \[ x + 2y + 3z - 210 = 0 \] 2. Tìm tọa độ của điểm B: - Điểm B nằm trên mặt phẳng (P) và nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) đi qua điểm A(20, 40, 60). - Đường thẳng này có phương pháp vuông góc với (P), tức là có vector phương là (1, 2, 3). Phương trình tham số của đường thẳng này: \[ x = 20 + t \] \[ y = 40 + 2t \] \[ z = 60 + 3t \] Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \[ (20 + t) + 2(40 + 2t) + 3(60 + 3t) - 210 = 0 \] \[ 20 + t + 80 + 4t + 180 + 9t - 210 = 0 \] \[ 14t + 170 = 0 \] \[ 14t = -170 \] \[ t = -\frac{170}{14} = -12.14 \] Thay t = -12.14 vào phương trình tham số: \[ x = 20 - 12.14 = 7.86 \] \[ y = 40 + 2(-12.14) = 40 - 24.28 = 15.72 \] \[ z = 60 + 3(-12.14) = 60 - 36.42 = 23.58 \] Vậy tọa độ của điểm B là (7.86, 15.72, 23.58). 3. Tính khoảng cách từ O đến B: \[ OB = \sqrt{(7.86)^2 + (15.72)^2 + (23.58)^2} \] \[ OB = \sqrt{61.7796 + 247.1184 + 556.0164} \] \[ OB = \sqrt{864.9144} \] \[ OB \approx 29.41 \] Khoảng cách từ O đến B là khoảng 29 mét (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4. Để tính thể tích của tòa nhà, ta sẽ chia nó thành các phần nhỏ hơn và tính thể tích từng phần rồi cộng lại. Bước 1: Xác định các phần của tòa nhà Tòa nhà có thể được chia thành ba phần: 1. Phần dưới: Từ mặt đất lên đến vị trí có cạnh hình vuông là 26 m. 2. Phần giữa: Từ vị trí có cạnh hình vuông là 26 m lên đến vị trí có cạnh hình vuông là 13,75 m. 3. Phần trên: Từ vị trí có cạnh hình vuông là 13,75 m lên đến đỉnh có cạnh hình vuông là 20 m. Bước 2: Tính thể tích của mỗi phần Phần dưới (từ mặt đất đến vị trí có cạnh 26 m) Phần này là một hình hộp chữ nhật với chiều cao là 10 m (vì từ mặt đất đến vị trí có cạnh 26 m là 10 m) và diện tích đáy là \(26^2 = 676 \text{ m}^2\). Thể tích của phần này là: \[ V_1 = 676 \times 10 = 6760 \text{ m}^3 \] Phần giữa (từ vị trí có cạnh 26 m đến vị trí có cạnh 13,75 m) Phần này là một hình nón cụt với chiều cao là 10 m (vì từ vị trí có cạnh 26 m đến vị trí có cạnh 13,75 m là 10 m), diện tích đáy lớn là \(26^2 = 676 \text{ m}^2\) và diện tích đáy nhỏ là \(13,75^2 = 189,0625 \text{ m}^2\). Thể tích của phần này là: \[ V_2 = \frac{1}{3} \times 10 \times (676 + 189,0625 + \sqrt{676 \times 189,0625}) \] \[ V_2 = \frac{1}{3} \times 10 \times (676 + 189,0625 + 344,53125) \] \[ V_2 = \frac{1}{3} \times 10 \times 1209,59375 \] \[ V_2 = 4031,979167 \text{ m}^3 \] Phần trên (từ vị trí có cạnh 13,75 m đến đỉnh có cạnh 20 m) Phần này là một hình nón cụt với chiều cao là 10 m (vì từ vị trí có cạnh 13,75 m đến đỉnh là 10 m), diện tích đáy lớn là \(13,75^2 = 189,0625 \text{ m}^2\) và diện tích đáy nhỏ là \(20^2 = 400 \text{ m}^2\). Thể tích của phần này là: \[ V_3 = \frac{1}{3} \times 10 \times (189,0625 + 400 + \sqrt{189,0625 \times 400}) \] \[ V_3 = \frac{1}{3} \times 10 \times (189,0625 + 400 + 278,125) \] \[ V_3 = \frac{1}{3} \times 10 \times 867,1875 \] \[ V_3 = 2890,625 \text{ m}^3 \] Bước 3: Tính tổng thể tích Tổng thể tích của tòa nhà là: \[ V = V_1 + V_2 + V_3 \] \[ V = 6760 + 4031,979167 + 2890,625 \] \[ V = 13682,604167 \text{ m}^3 \] Vậy thể tích của tòa nhà là: \[ V \approx 13683 \text{ m}^3 \] Câu 5. Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là: \[ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 48}{x + 4} \] Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tính đạo hàm của \( A(x) \) và tìm điểm cực tiểu. Tính đạo hàm của \( A(x) \): \[ A'(x) = \frac{(x^2 + 48)'(x + 4) - (x^2 + 48)(x + 4)'}{(x + 4)^2} \] \[ A'(x) = \frac{(2x)(x + 4) - (x^2 + 48)(1)}{(x + 4)^2} \] \[ A'(x) = \frac{2x^2 + 8x - x^2 - 48}{(x + 4)^2} \] \[ A'(x) = \frac{x^2 + 8x - 48}{(x + 4)^2} \] Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình \( A'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 + 8x - 48}{(x + 4)^2} = 0 \] \[ x^2 + 8x - 48 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 16}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-8 + 16}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 16}{2} = -12 \] Vì \( x \) là độ dài cạnh đáy lớn, nên \( x > 0 \). Do đó, ta chỉ xét nghiệm \( x = 4 \). Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của điểm cực tiểu: \[ A''(x) = \frac{(2x + 8)(x + 4)^2 - (x^2 + 8x - 48) \cdot 2(x + 4)}{(x + 4)^4} \] \[ A''(x) = \frac{(2x + 8)(x + 4) - 2(x^2 + 8x - 48)}{(x + 4)^3} \] \[ A''(x) = \frac{2x^2 + 8x + 8x + 32 - 2x^2 - 16x + 96}{(x + 4)^3} \] \[ A''(x) = \frac{128}{(x + 4)^3} \] Tại \( x = 4 \): \[ A''(4) = \frac{128}{(4 + 4)^3} = \frac{128}{512} = \frac{1}{4} > 0 \] Vậy \( x = 4 \) là điểm cực tiểu của \( A(x) \). Do đó, giá trị của \( x \) để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất là \( x = 4 \) dm. Đáp số: \( x = 4 \) dm. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Bayes để tính xác suất. Gọi: - \( A \): Sự kiện sản phẩm bị lỗi. - \( B \): Sự kiện sản phẩm không bị lỗi. - \( C_1 \): Sự kiện hệ thống 1 báo lỗi. - \( C_2 \): Sự kiện hệ thống 2 báo lỗi. Biết rằng: - \( P(A) = 0,01 \) - \( P(B) = 1 - P(A) = 0,99 \) - \( P(C_1 | A) = 0,95 \) (xác suất hệ thống 1 phát hiện chính xác sản phẩm lỗi) - \( P(C_1 | B) = 0,01 \) (xác suất hệ thống 1 báo lỗi nhầm trên sản phẩm không lỗi) - \( P(C_2 | A) = 0,90 \) (xác suất hệ thống 2 phát hiện chính xác sản phẩm lỗi) - \( P(C_2 | B) = 0,05 \) (xác suất hệ thống 2 báo lỗi nhầm trên sản phẩm không lỗi) Chúng ta cần tính xác suất \( P(B | C_1 \cap C_2) \), tức là xác suất sản phẩm không bị lỗi khi cả hai hệ thống đều báo lỗi. Theo quy tắc Bayes: \[ P(B | C_1 \cap C_2) = \frac{P(C_1 \cap C_2 | B) \cdot P(B)}{P(C_1 \cap C_2)} \] Trước tiên, tính \( P(C_1 \cap C_2 | B) \): \[ P(C_1 \cap C_2 | B) = P(C_1 | B) \cdot P(C_2 | B) = 0,01 \cdot 0,05 = 0,0005 \] Tiếp theo, tính \( P(C_1 \cap C_2 | A) \): \[ P(C_1 \cap C_2 | A) = P(C_1 | A) \cdot P(C_2 | A) = 0,95 \cdot 0,90 = 0,855 \] Bây giờ, tính \( P(C_1 \cap C_2) \): \[ P(C_1 \cap C_2) = P(C_1 \cap C_2 | A) \cdot P(A) + P(C_1 \cap C_2 | B) \cdot P(B) \] \[ P(C_1 \cap C_2) = 0,855 \cdot 0,01 + 0,0005 \cdot 0,99 = 0,00855 + 0,000495 = 0,009045 \] Cuối cùng, tính \( P(B | C_1 \cap C_2) \): \[ P(B | C_1 \cap C_2) = \frac{0,0005 \cdot 0,99}{0,009045} = \frac{0,000495}{0,009045} \approx 0,0547 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn là 0,055. Do đó, \( a = 5 \) và \( b = 5 \). Giá trị của \( 10a + b \) là: \[ 10 \cdot 5 + 5 = 50 + 5 = 55 \] Đáp số: 55