giair các câu hỏi Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{2x+1}$ là,$A.~F(x)=\frac12b|2x+1|+C.$ $B.~F(x)=2ln|2x+l|+C.$,$C.~F(x)=\ln[2x+4]+C.$ $D.~F(x)=\frac12\ln(2x+1)+C.$,Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\cos3x.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?,$A.~\int f(x)dx=\frac13\sin3x+C.$ $B.~\int f(x)dx=-\frac13\sin3x+C.$,$C.~\int f(x)dx=3\sin3x+C.$ $D.~\int f(x)dx=-3\sin3x+C.$,Câu 3. Tích phân $I=\int^2_0(2x+1)dx$ bằng,$A.~I=5.$ $B.~I=6.$ $C.~I=2.$ $D.~I=4.$,Câu 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc $v_0=15~m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t(m/s^2).$,,Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.,$A.~20~m.$ $B.~30~m.$ C. 70 m. D. 69,75 m .,Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $(d):\left\{\begin{array}lx=3+t\y=1-2t\z=2\end{array} ight..$ Một vectơ chỉ phương,của d là,$A.~\overrightarrow u=(1;-2;0).$ $B.~\overrightarrow u=(3;1;2).$ $C.~\overrightarrow u=(1;-2;2).$ $D.~\overrightarrow u=(-1;2;2).$,Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;3),~B(4;0;1),~C(-10;5;3).$ Vectơ nào dưới đây là,vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?,$A.~\overrightarrow{n_t}=(1;2;2).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(1;-2;2).$ $C.~\overrightarrow{n_i}=(-1;2;2).$ $D.~\overrightarrow{n_3}=(1;2;-2).$

Question

giair các câu hỏi Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{2x+1}$ là,$A.~F(x)=\frac12b|2x+1|+C.$ $B.~F(x)=2ln|2x+l|+C.$,$C.~F(x)=\ln[2x+4]+C.$ $D.~F(x)=\frac12\ln(2x+1)+C.$,Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\cos3x.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?,$A.~\int f(x)dx=\frac13\sin3x+C.$ $B.~\int f(x)dx=-\frac13\sin3x+C.$,$C.~\int f(x)dx=3\sin3x+C.$ $D.~\int f(x)dx=-3\sin3x+C.$,Câu 3. Tích phân $I=\int^2_0(2x+1)dx$ bằng,$A.~I=5.$ $B.~I=6.$ $C.~I=2.$ $D.~I=4.$,Câu 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc $v_0=15~m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t(m/s^2).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/3f8536b23e784dd49b87407abf98a04d.jpg />,Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.,$A.~20~m.$ $B.~30~m.$ C. 70 m. D. 69,75 m .,Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $(d):\left\{\begin{array}lx=3+t\y=1-2t\z=2\end{array}ight..$ Một vectơ chỉ phương,của d là,$A.~\overrightarrow u=(1;-2;0).$ $B.~\overrightarrow u=(3;1;2).$ $C.~\overrightarrow u=(1;-2;2).$ $D.~\overrightarrow u=(-1;2;2).$,Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;3),~B(4;0;1),~C(-10;5;3).$ Vectơ nào dưới đây là,vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?,$A.~\overrightarrow{n_t}=(1;2;2).$ $B.~\overrightarrow{n_2}=(1;-2;2).$ $C.~\overrightarrow{n_i}=(-1;2;2).$ $D.~\overrightarrow{n_3}=(1;2;-2).$

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{2x + 1} $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số.

Bước 1: Xác định biến số mới.
Gọi $ u = 2x + 1 $. Khi đó, $ du = 2dx $ hoặc $ dx = \frac{1}{2}du $.

Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm.
$$
\int \frac{1}{2x + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du
$$

Bước 3: Tính nguyên hàm của hàm số mới.
$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C
$$

Bước 4: Quay lại biến số ban đầu.
$$
\frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C
$$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{2x + 1} $ là:
$$
F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ F(x) = \frac{1}{2} \ln (2x + 1) + C $

Đáp số: D. $ F(x) = \frac{1}{2} \ln (2x + 1) + C $

Câu 2.
Ta có:

$\int f(x)dx = \int \cos 3x dx$

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm cos(ax + b):

$\int \cos(ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C$

Trong đó, a = 3 và b = 0.

Do đó:

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$

Vậy khẳng định đúng là:

A. $\int f(x)dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

Đáp án: A. $\int f(x)dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

Câu 3.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 2x + 1 $.

Nguyên hàm của $ 2x $ là $ x^2 $ và nguyên hàm của $ 1 $ là $ x $. Do đó, nguyên hàm của $ 2x + 1 $ là:
$$ F(x) = x^2 + x + C $$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân:
$$ I = \left[ F(x) \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} $$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm:
$$ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) $$
$$ I = (4 + 2) - (0 + 0) $$
$$ I = 6 $$

Vậy tích phân $ I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx $ bằng 6.

Đáp án đúng là: B. $ I = 6 $.

Câu 4.
Để tính quãng đường mà ô tô đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc tức thời của ô tô theo thời gian:
   - Gia tốc $a(t)$ đã cho là $a(t) = t^2 + 4t$.
   - Vận tốc tức thời $v(t)$ là tích phân của gia tốc $a(t)$:
     $$
     v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t^2 + 4t) \, dt = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + C
     $$
   - Ta biết rằng ban đầu (t = 0), vận tốc của ô tô là $v_0 = 15 \, m/s$. Do đó:
     $$
     v(0) = \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + C = 15 \implies C = 15
     $$
   - Vậy vận tốc tức thời của ô tô là:
     $$
     v(t) = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15
     $$

2. Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 3 giây:
   - Quãng đường $s(t)$ là tích phân của vận tốc tức thời $v(t)$:
     $$
     s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left(\frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15\right) \, dt = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t + D
     $$
   - Ta biết rằng ban đầu (t = 0), quãng đường là 0. Do đó:
     $$
     s(0) = \frac{0^4}{12} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 15 \cdot 0 + D = 0 \implies D = 0
     $$
   - Vậy quãng đường ô tô đi được là:
     $$
     s(t) = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t
     $$
   - Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 3 giây:
     $$
     s(3) = \frac{3^4}{12} + \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 15 \cdot 3 = \frac{81}{12} + \frac{54}{3} + 45 = 6,75 + 18 + 45 = 69,75 \, m
     $$

Vậy quãng đường mà ô tô đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là 69,75 m.

Đáp án đúng là: D. 69,75 m.

Câu 5.
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ (d) $ được cho bởi phương trình tham số:
$$ (d): \left\{
\begin{array}{l}
x = 3 + t \
y = 1 - 2t \
z = 2
\end{array}
\right. $$

Chúng ta nhận thấy rằng mỗi thành phần của tọa độ điểm trên đường thẳng $ (d) $ phụ thuộc vào tham số $ t $.

- Tọa độ $ x $ thay đổi theo $ t $ với hệ số 1.
- Tọa độ $ y $ thay đổi theo $ t $ với hệ số -2.
- Tọa độ $ z $ không thay đổi theo $ t $ (hệ số 0).

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $ (d) $ sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số này. Vậy vectơ chỉ phương của $ (d) $ là:
$$ \overrightarrow{u} = (1, -2, 0) $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ \overrightarrow{u} = (1, -2, 0) $

Đáp án: A. $ \overrightarrow{u} = (1, -2, 0) $

Câu 6.
Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ trước.

Vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2, 0 + 1, 1 - 3) = (2, 1, -2) $$

Vectơ $\overrightarrow{AC}$:
$$ \overrightarrow{AC} = C - A = (-10 - 2, 5 + 1, 3 - 3) = (-12, 6, 0) $$

Tiếp theo, ta tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:
$$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 1 & -2 \
-12 & 6 & 0
\end{vmatrix} $$
$$ = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 6) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-12)) + \mathbf{k}(2 \cdot 6 - 1 \cdot (-12)) $$
$$ = \mathbf{i}(0 + 12) - \mathbf{j}(0 - 24) + \mathbf{k}(12 + 12) $$
$$ = 12\mathbf{i} + 24\mathbf{j} + 24\mathbf{k} $$
$$ = (12, 24, 24) $$

Ta thấy rằng vectơ $(12, 24, 24)$ có thể được viết lại dưới dạng $(1, 2, 2)$ khi chia cả ba thành phần cho 12.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $(1, 2, 2)$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $\overrightarrow{n_4} = (1, 2, 2)$.