Câu 3:
a) Biết người được chọn là trẻ em, xác suất để người đó yêu thích bộ phim là 0,56.
Xác suất để người đó yêu thích bộ phim là:
Vậy đáp án này sai.
b) Xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 là 0,59.
Xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 là:
Vậy đáp án này sai.
c) Biết người đó sẽ xem tiếp phần 2 của bộ phim, xác suất để người đó là trẻ em lớn hơn 0,85.
Xác suất để người đó là trẻ em và sẽ xem tiếp phần 2 là:
Xác suất để người đó sẽ xem tiếp phần 2 là:
Xác suất để người đó là trẻ em biết người đó sẽ xem tiếp phần 2 là:
Vậy đáp án này đúng.
d) Biết người đó yêu thích bộ phim, xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 là 0,37 (làm tròn đến hàng phần trăm).
Xác suất để người đó yêu thích bộ phim là:
Xác suất để người đó yêu thích bộ phim và không xem tiếp phần 2 là:
Xác suất để người đó không xem tiếp phần 2 biết người đó yêu thích bộ phim là:
Vậy đáp án này sai.
Đáp án đúng là: c)
Câu 4:
a) Ta thấy điểm không thỏa mãn phương trình của đường thẳng , vì thay vào ta có:
suy ra (loại)
Vậy điểm không nằm trên đường thẳng .
b) Mặt phẳng song song với đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng .
Vectơ pháp tuyến của là
Vectơ chỉ phương của là
Gọi vectơ pháp tuyến của là
Ta có:
suy ra
Giải hệ phương trình này, ta được .
Vậy vectơ pháp tuyến của có dạng , tức là (loại).
Vậy mặt phẳng không có vectơ pháp tuyến là .
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
Ta có:
suy ra
suy ra
suy ra hoặc .
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
d) Đường thẳng đi qua điểm , song song với mặt phẳng và cắt đường thẳng tại điểm . Giá trị bằng 3.
Gọi vectơ chỉ phương của là
Ta có:
suy ra
Giải hệ phương trình này, ta được .
Vậy vectơ chỉ phương của có dạng , tức là .
Phương trình của là:
Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , suy ra:
Giải hệ phương trình này, ta được , , .
Vậy .
Câu 1:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ các đỉnh của lăng trụ:
- Vì đáy là tam giác đều cạnh , ta có thể đặt tọa độ các đỉnh đáy như sau:
- A(0, 0, 0)
- B(, 0, 0)
- C(, 3, 0)
- Các đỉnh ở đáy trên:
- A'(0, 0, 3)
- B'(, 0, 3)
- C'(, 3, 3)
2. Tìm tọa độ của M và N:
- M là trung điểm của BC:
- N là trung điểm của B'C':
3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng AM và CN:
- Vectơ :
- Vectơ :
4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và CN:
- Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và CN. Gọi vectơ này là .
- Điều kiện để là vectơ pháp tuyến là:
- Từ đó ta có:
- Chọn , ta có và .
- Vậy vectơ pháp tuyến là .
5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CN.
- Ta có:
- Vectơ :
- Tích vô hướng :
- Độ dài vectơ pháp tuyến :
- Khoảng cách:
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN là .
Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Từ đó, vectơ chỉ phương của là .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình . Do đó, vectơ pháp tuyến của là .
3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Đường thẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng . Vì vậy, vectơ chỉ phương của phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của . Ta gọi vectơ chỉ phương của là . Điều kiện là:
4. Tìm góc giữa hai đường thẳng:
Để đường thẳng tạo với đường thẳng một góc nhỏ nhất, ta cần tối thiểu góc giữa hai vectơ chỉ phương và . Góc giữa hai vectơ và là:
Ta có:
Để góc nhỏ nhất, ta cần:
5. Giải hệ phương trình:
Ta có hai phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta được:
Chọn , ta có .
6. Viết phương trình đường thẳng :
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của là:
7. Tìm tọa độ điểm :
Thay vào phương trình tham số của :
Thay vào phương trình tham số của và :
Vậy điểm có tọa độ .
8. Tính giá trị :
Đáp số: .
Câu 3:
Để tính độ dài quãng đường ngắn nhất mà vận động viên phải chạy, chúng ta sẽ chia nhỏ bài toán thành các phần dễ dàng hơn để giải quyết.
1. Tính độ dài đoạn thẳng DC:
- Vì sân vận động là hình chữ nhật ABCD với và , nên độ dài đoạn thẳng DC là 80m.
2. Tính độ dài đoạn thẳng CB:
- Độ dài đoạn thẳng CB cũng là 100m vì đó là chiều dài của hình chữ nhật.
3. Tính độ dài đoạn thẳng BE:
- Điểm E nằm trên cạnh AB sao cho . Do đó, độ dài đoạn thẳng BE là 20m.
4. Tính độ dài đoạn thẳng EM:
- Điểm M nằm trên đường tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật và bán kính 25m. Để tính độ dài đoạn thẳng EM, chúng ta cần biết tọa độ của điểm M. Tuy nhiên, do chưa có thông tin cụ thể về vị trí của M, chúng ta sẽ giả sử M nằm ở vị trí tối ưu để quãng đường ngắn nhất.
5. Tính độ dài cung MD:
- Đường tròn có bán kính 25m. Để tính độ dài cung MD, chúng ta cần biết góc tâm tương ứng với cung này. Tuy nhiên, do chưa có thông tin cụ thể về góc tâm, chúng ta sẽ giả sử cung MD là một phần nhỏ của đường tròn.
6. Tổng hợp các đoạn thẳng và cung:
- Quãng đường ngắn nhất mà vận động viên phải chạy là tổng của các đoạn thẳng và cung:
7. Giả sử tối ưu hóa:
- Giả sử M nằm ở vị trí tối ưu để quãng đường ngắn nhất, chúng ta có thể giả sử M nằm gần điểm D để giảm thiểu độ dài cung MD và đoạn thẳng EM.
8. Tính toán cụ thể:
- Giả sử M nằm gần điểm D, độ dài cung MD và đoạn thẳng EM sẽ rất nhỏ, gần như bằng không.
- Vậy quãng đường ngắn nhất sẽ là:
Do đó, độ dài quãng đường ngắn nhất mà vận động viên phải chạy là khoảng 200m.