Giải cho tiết và đúng giúp em Câu 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-7},$ trục hoành và các đường,thẳng $x=2,x=4.$ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh,trục Ox.,A. 49 . $B.~46\pi.$ $C.~132\pi.$ $D.~84\pi.$

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{10x - 7}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 2$, $x = 4$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay:
   - Diện tích bề mặt của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:
     $$
     V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
     $$
   - Trong đó, $f(x) = \sqrt{10x - 7}$, $a = 2$, và $b = 4$.

2. Tính tích phân:
   - Ta cần tính tích phân $\int_{2}^{4} (\sqrt{10x - 7})^2 \, dx$.
   - $(\sqrt{10x - 7})^2 = 10x - 7$.
   - Do đó, tích phân trở thành:
     $$
     \int_{2}^{4} (10x - 7) \, dx
     $$

3. Tính tích phân cụ thể:
   - Tính tích phân từng phần:
     $$
     \int_{2}^{4} (10x - 7) \, dx = \left[ 5x^2 - 7x \right]_{2}^{4}
     $$
   - Thay cận vào:
     $$
     \left[ 5(4)^2 - 7(4) \right] - \left[ 5(2)^2 - 7(2) \right] = \left[ 80 - 28 \right] - \left[ 20 - 14 \right] = 52 - 6 = 46
     $$

4. Nhân với $\pi$:
   - Thể tích khối tròn xoay là:
     $$
     V = \pi \times 46 = 46\pi
     $$

Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là $46\pi$. Đáp án đúng là B. $46\pi$.