Giải bài này hộ tớ với ạ Câu 22: Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0),$ đơn vị,trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát,không lưu, bay qua hai vị trí $A(-500;-250;150),B(-200;-200;120).$ Khi máy bay ở gần,đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là $(a;b;c).$ Giá trị của biểu thức $a-b-c$,là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Question

Accepted Answer

Câu 22:
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-200 + 500; -200 + 250; 120 - 150) = (300; 50; -30)$

Phương trình tham số của đường thẳng AB:
$$
\begin{cases}
x = -500 + 300t \
y = -250 + 50t \
z = 150 - 30t
\end{cases}
$$

Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là $(a; b; c)$, tức là điểm trên đường thẳng AB gần điểm O(0;0;0) nhất. Ta cần tìm giá trị của $t$ sao cho khoảng cách từ điểm $(a; b; c)$ đến điểm O(0;0;0) là nhỏ nhất.

Khoảng cách từ điểm $(a; b; c)$ đến điểm O(0;0;0) là:
$$
d = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{(-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 30t)^2}
$$

Ta cần tìm giá trị của $t$ để $d^2$ nhỏ nhất:
$$
f(t) = (-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 30t)^2
$$

Tính đạo hàm của $f(t)$:
$$
f'(t) = 2(-500 + 300t) \cdot 300 + 2(-250 + 50t) \cdot 50 + 2(150 - 30t) \cdot (-30)
$$
$$
= 600(-500 + 300t) + 100(-250 + 50t) - 60(150 - 30t)
$$
$$
= -300000 + 180000t - 25000 + 5000t - 9000 + 1800t
$$
$$
= 186800t - 334000
$$

Đặt $f'(t) = 0$:
$$
186800t - 334000 = 0
$$
$$
t = \frac{334000}{186800} = \frac{334}{186.8} \approx 1.79
$$

Thay $t = 1.79$ vào phương trình tham số của đường thẳng AB:
$$
a = -500 + 300 \cdot 1.79 = -500 + 537 = 37
$$
$$
b = -250 + 50 \cdot 1.79 = -250 + 89.5 = -160.5
$$
$$
c = 150 - 30 \cdot 1.79 = 150 - 53.7 = 96.3
$$

Giá trị của biểu thức $a - b - c$:
$$
a - b - c = 37 - (-160.5) - 96.3 = 37 + 160.5 - 96.3 = 101.2 \approx 101
$$

Đáp số: 101