Giúp tôi vs ạ Ư 3,PHẦN II (4 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d),ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=2\cos t(m/s^2).$,a) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0~(s)$ đến thời điểm $I=\pi(s)$ là 4m.,b) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac\pi2$ (s) đến thời điểm $t=\frac{3\pi}4~(6)$ là 2m.,c) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 . Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn,bởi hàm số $v(t)=2\sin t(m/s).$,d) Vận tốc của vật tại thời điềm $t=\frac\pi2$,Câu 2. Cho hàm số $y=x^3-2x^2-2x+4$ có đồ thị (C). Đường thẳng $d:~y=3x-2$ cắt đồ thị (C) thành,hai miền có diện tích là S; và S2 như hình vẽ.,,a) Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm $A=2;-8;B=1;1;C=3;7$,b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, đường thẳng $x=-1,~x=2$ bằng $\frac{21}4.$,c) Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}$,d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d bằng $\frac{273}{12}.$,Câu 3. Trong không Oxyz , cho điểm $A(3;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):~2x-2y+z-5=0.$,đề 1102 Trang 2

Question

Giúp tôi vs ạ Ư 3,PHẦN II (4 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d),ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=2\cos t(m/s^2).$,a) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0~(s)$ đến thời điểm $I=\pi(s)$ là 4m.,b) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac\pi2$ (s) đến thời điểm $t=\frac{3\pi}4~(6)$ là 2m.,c) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 . Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn,bởi hàm số $v(t)=2\sin t(m/s).$,d) Vận tốc của vật tại thời điềm $t=\frac\pi2$,Câu 2. Cho hàm số $y=x^3-2x^2-2x+4$ có đồ thị (C). Đường thẳng $d:~y=3x-2$ cắt đồ thị (C) thành,hai miền có diện tích là S; và S2 như hình vẽ.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/5cb90c44484746f6b62a6d814e428764.jpg />,a) Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm $A=2;-8;B=1;1;C=3;7$,b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, đường thẳng $x=-1,~x=2$ bằng $\frac{21}4.$,c) Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}$,d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d bằng $\frac{273}{12}.$,Câu 3. Trong không Oxyz , cho điểm $A(3;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):~2x-2y+z-5=0.$,đề 1102 Trang 2

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết các câu hỏi về chuyển động của vật, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

a) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=\pi$

Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=\pi$ là:
$$ s = \int_{0}^{\pi} v(t) \, dt $$

Trước tiên, ta cần tìm vận tốc $v(t)$ của vật. Biết rằng gia tốc $a(t) = 2 \cos t$, ta có:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 2 \cos t \, dt = 2 \sin t + C $$

Tại thời điểm bắt đầu chuyển động ($t=0$), vận tốc của vật bằng 0:
$$ v(0) = 2 \sin 0 + C = 0 $$
$$ C = 0 $$

Do đó, vận tốc của vật là:
$$ v(t) = 2 \sin t $$

Bây giờ, ta tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=\pi$:
$$ s = \int_{0}^{\pi} 2 \sin t \, dt $$
$$ s = 2 \left[ -\cos t \right]_{0}^{\pi} $$
$$ s = 2 \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) $$
$$ s = 2 \left( -(-1) + 1 \right) $$
$$ s = 2 \left( 1 + 1 \right) $$
$$ s = 2 \times 2 = 4 \text{ m} $$

b) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$ đến thời điểm $t=\frac{3\pi}{4}$

Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$ đến thời điểm $t=\frac{3\pi}{4}$ là:
$$ s = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} v(t) \, dt $$

Ta đã biết vận tốc của vật là:
$$ v(t) = 2 \sin t $$

Bây giờ, ta tính quãng đường vật đi được từ $t=\frac{\pi}{2}$ đến $t=\frac{3\pi}{4}$:
$$ s = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} 2 \sin t \, dt $$
$$ s = 2 \left[ -\cos t \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} $$
$$ s = 2 \left( -\cos \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2} \right) $$
$$ s = 2 \left( -\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 0 \right) $$
$$ s = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$
$$ s = \sqrt{2} \text{ m} $$

c) Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu chuyển động

Tại thời điểm bắt đầu chuyển động ($t=0$), vận tốc của vật là:
$$ v(0) = 2 \sin 0 = 0 \text{ m/s} $$

d) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$

Vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$ là:
$$ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \times 1 = 2 \text{ m/s} $$

Kết luận
- Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=\pi$ là 4 m.
- Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$ đến thời điểm $t=\frac{3\pi}{4}$ là $\sqrt{2}$ m.
- Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu chuyển động là 0 m/s.
- Vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac{\pi}{2}$ là 2 m/s.

Câu 2.
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Tìm các giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $y = x^3 - 2x^2 - 2x + 4$.

Đặt phương trình:
$$ x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 3x - 2 $$

Rearrange để đưa về dạng phương trình bậc ba:
$$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 $$

Phương trình này có ba nghiệm là $x = 2$, $x = 1$, và $x = 3$. Thay vào phương trình $y = 3x - 2$ để tìm tọa độ các giao điểm:
- Khi $x = 2$, $y = 3(2) - 2 = 4$. Điểm giao là $A(2, 4)$.
- Khi $x = 1$, $y = 3(1) - 2 = 1$. Điểm giao là $B(1, 1)$.
- Khi $x = 3$, $y = 3(3) - 2 = 7$. Điểm giao là $C(3, 7)$.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^3 - 2x^2 - 2x + 4$, trục hoành, và các đường thẳng $x = -1$ và $x = 2$.

Diện tích $S$ được tính bằng tích phân:
$$ S = \int_{-1}^{2} |x^3 - 2x^2 - 2x + 4| \, dx $$

Tính tích phân:
$$ S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} $$

Thay các giá trị vào:
$$ S = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{2 \cdot 2^3}{3} - 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} - (-1)^2 + 4 \cdot (-1) \right) $$
$$ S = \left( 4 - \frac{16}{3} - 4 + 8 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 1 - 4 \right) $$
$$ S = \left( 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 5 \right) $$
$$ S = \left( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 5 \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 5 \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} - \left( \frac{3}{12} + \frac{8}{12} - 5 \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} - \left( \frac{11}{12} - 5 \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} - \left( \frac{11}{12} - \frac{60}{12} \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} - \left( -\frac{49}{12} \right) $$
$$ S = \frac{8}{3} + \frac{49}{12} $$
$$ S = \frac{32}{12} + \frac{49}{12} $$
$$ S = \frac{81}{12} = \frac{27}{4} $$

c) Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$.

Diện tích $S_1$ và $S_2$ được tính bằng tích phân từ $x = 1$ đến $x = 2$ và từ $x = 2$ đến $x = 3$ tương ứng.

$$ S_1 = \int_{1}^{2} (x^3 - 2x^2 - 2x + 4 - (3x - 2)) \, dx $$
$$ S_1 = \int_{1}^{2} (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \, dx $$

$$ S_2 = \int_{2}^{3} (3x - 2 - (x^3 - 2x^2 - 2x + 4)) \, dx $$
$$ S_2 = \int_{2}^{3} (-x^3 + 2x^2 + 5x - 6) \, dx $$

Tính các tích phân:
$$ S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{1}^{2} $$
$$ S_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x \right]_{2}^{3} $$

Thay các giá trị vào:
$$ S_1 = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 \right) $$
$$ S_1 = \left( 4 - \frac{16}{3} - 10 + 12 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \left( 6 - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \left( \frac{18}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \frac{2}{3} - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \frac{2}{3} - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \frac{2}{3} - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$
$$ S_1 = \frac{2}{3} - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 \right) $$

$$ S_2 = \left( -\frac{3^4}{4} + \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{5 \cdot 3^2}{2} - 6 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + \frac{5 \cdot 2^2}{2} - 6 \cdot 2 \right) $$
$$ S_2 = \left( -\frac{81}{4} + 18 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -4 + \frac{16}{3} + 10 - 12 \right) $$
$$ S_2 = \left( -\frac{81}{4} + 18 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -4 + \frac{16}{3} + 10 - 12 \right) $$
$$ S_2 = \left( -\frac{81}{4} + 18 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -4 + \frac{16}{3} + 10 - 12 \right) $$
$$ S_2 = \left( -\frac{81}{4} + 18 + \frac{45}{2} - 18 \right) - \left( -4 + \frac{16}{3} + 10 - 12 \right) $$

$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{189}{64}} = \frac{2}{3} \times \frac{64}{189} = \frac{128}{567} $$

d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^3 - 2x^2 - 2x + 4$ và đường thẳng $y = 3x - 2$.

Diện tích tổng cộng:
$$ S = S_1 + S_2 = \frac{273}{12} $$

Đáp án cuối cùng:
$$ \boxed{\frac{273}{12}} $$

Câu 3.
Để tìm hình chiếu của điểm $ A(3;1;-2) $ lên mặt phẳng $ (P): 2x - 2y + z - 5 = 0 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A $ và vuông góc với mặt phẳng $ (P) $:
   - Mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ \vec{n} = (2, -2, 1) $.
   - Đường thẳng đi qua điểm $ A $ và vuông góc với $ (P) $ sẽ có phương hướng theo vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $.

Phương trình tham số của đường thẳng này là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 3 + 2t \
   y = 1 - 2t \
   z = -2 + t
   \end{cases}
   $$

2. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng $ (P) $:
   Thay các phương trình tham số vào phương trình của mặt phẳng $ (P) $:
   $$
   2(3 + 2t) - 2(1 - 2t) + (-2 + t) - 5 = 0
   $$
   Giải phương trình này:
   $$
   6 + 4t - 2 + 4t - 2 + t - 5 = 0 \
   9t - 3 = 0 \
   9t = 3 \
   t = \frac{1}{3}
   $$

3. Tìm tọa độ giao điểm:
   Thay $ t = \frac{1}{3} $ vào phương trình tham số của đường thẳng:
   $$
   \begin{cases}
   x = 3 + 2 \left(\frac{1}{3}\right) = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \
   y = 1 - 2 \left(\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \
   z = -2 + \left(\frac{1}{3}\right) = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}
   \end{cases}
   $$

Vậy hình chiếu của điểm $ A(3;1;-2) $ lên mặt phẳng $ (P) $ là điểm $ H \left( \frac{11}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{5}{3} \right) $.