Trffgvvvvv Câu 2. Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại,chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều.,,Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính,toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn,đồng) cho một chụp đèn là: $C(x)=x^2+27$ (nghìn,đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác,định là: $T(x)=x+3~(giờ).$ (giờ). Xưởng muốn xác định,kích thước x để chi phí vật liệu trung bình trên một,giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử,dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của x.,Câu 3. Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng,hình chữ nhật với chiều rộng 12m và chiều dài 25m.,Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một,,mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là 1,2m,và tăng dần đều đến 2,0m ở đầu kia của bể (xem hình,vẽ).,Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng,một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với,tốc độ không đổi là 60 m /giờ. Hỏi saubaaonhiiê giờ,thì máy bơm bơm đầy bê nước?,Câu 4. Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là 2,5%. Nhà máy sử dụng hai hệ thống,kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:,Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 95%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm,không lỗi là 1%.,Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 90%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm,không lỗi là 5%.,Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác,suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số,có dạng $0,0ab$ (ví dụ nếu kết quả là 0,024 thì $a=2,b=4).$ Tính giá trị của $a+b.$,Câu 5. Một nhà đầu tư có số vốn là 2 tỷ đồng (2000 triệu đồng) để phân bổ vào quỹ cổ phiếu A và quỹ trái,phiếu B . Các thông tin và điều kiện đầu tư như sau: Quỹ cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là 14,5%/ năm. Quỹ,trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là 7,5%/ năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 2000 triệu đồng. Phải đầu,tư ít nhất 300 triệu đồng vào quỹ trái phiếu B . Không đầu tư quá 1500 triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A . Với,các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng,(làm tròn đến hàng đơn vị)?,Câu 6. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế,một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ,cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình,,vuông (xem hình vẽ).,Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26~m,$,mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20~m.$ Mặt cắt,ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có,cạnh $L_{min}=13,75~m.$ Mặt cắt của tòa nhà theo mặt,phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình,phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng,nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà.,Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn,vị, đơn vị tính: mét khối).,----- HẾT-----

Question

Trffgvvvvv Câu 2. Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại,chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều.,

,Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính,toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn,đồng) cho một chụp đèn là: $C(x)=x^2+27$ (nghìn,đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác,định là: $T(x)=x+3~(giờ).$ (giờ). Xưởng muốn xác định,kích thước x để chi phí vật liệu trung bình trên một,giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử,dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của x.,Câu 3. Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng,hình chữ nhật với chiều rộng 12m và chiều dài 25m.,Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một,

,mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là 1,2m,và tăng dần đều đến 2,0m ở đầu kia của bể (xem hình,vẽ).,Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng,một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với,tốc độ không đổi là 60 m /giờ. Hỏi saubaaonhiiê giờ,thì máy bơm bơm đầy bê nước?,Câu 4. Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là 2,5%. Nhà máy sử dụng hai hệ thống,kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:,Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 95%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm,không lỗi là 1%.,Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 90%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm,không lỗi là 5%.,Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác,suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số,có dạng $0,0ab$ (ví dụ nếu kết quả là 0,024 thì $a=2,b=4).$ Tính giá trị của $a+b.$,Câu 5. Một nhà đầu tư có số vốn là 2 tỷ đồng (2000 triệu đồng) để phân bổ vào quỹ cổ phiếu A và quỹ trái,phiếu B . Các thông tin và điều kiện đầu tư như sau: Quỹ cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là 14,5%/ năm. Quỹ,trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là 7,5%/ năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 2000 triệu đồng. Phải đầu,tư ít nhất 300 triệu đồng vào quỹ trái phiếu B . Không đầu tư quá 1500 triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A . Với,các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng,(làm tròn đến hàng đơn vị)?,Câu 6. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế,một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ,cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình,

,vuông (xem hình vẽ).,Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26~m,$,mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20~m.$ Mặt cắt,ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có,cạnh $L_{min}=13,75~m.$ Mặt cắt của tòa nhà theo mặt,phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình,phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng,nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà.,Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn,vị, đơn vị tính: mét khối).,----- HẾT-----

Accepted Answer

Câu 2.
Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là:
$$ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 27}{x + 3} $$

Để tìm giá trị của $ x $ sao cho $ A(x) $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của $ A(x) $:
$$ A'(x) = \left( \frac{x^2 + 27}{x + 3} \right)' $$
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm:
$$ A'(x) = \frac{(x^2 + 27)'(x + 3) - (x^2 + 27)(x + 3)'}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{(2x)(x + 3) - (x^2 + 27)(1)}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2 - 27}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{x^2 + 6x - 27}{(x + 3)^2} $$

Bước 2: Tìm điểm cực tiểu của $ A(x) $:
$$ A'(x) = 0 $$
$$ \frac{x^2 + 6x - 27}{(x + 3)^2} = 0 $$
$$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$
$$ (x + 9)(x - 3) = 0 $$
$$ x = -9 \text{ hoặc } x = 3 $$

Do $ x $ là độ dài cạnh đáy lớn, nên $ x > 0 $. Vậy ta có:
$$ x = 3 $$

Bước 3: Kiểm tra tính chất của $ A(x) $ tại $ x = 3 $:
- $ A''(x) $ (đạo hàm thứ hai của $ A(x) $) sẽ xác định tính chất cực tiểu. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể kiểm tra trực tiếp bằng cách thay $ x = 3 $ vào $ A(x) $.

$$ A(3) = \frac{3^2 + 27}{3 + 3} = \frac{9 + 27}{6} = \frac{36}{6} = 6 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là 6 nghìn đồng/giờ, đạt được khi $ x = 3 $ dm.

Đáp số: $ x = 3 $ dm.

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính thể tích của bể bơi và thời gian cần thiết để máy bơm bơm đầy nước vào bể.

Bước 1: Tính thể tích của bể bơi

Bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là một hình chữ nhật và hai đầu bể có chiều sâu khác nhau. Chúng ta có thể coi bể bơi như một khối lăng trụ đứng có đáy là hình thang.

Chiều rộng của bể là 12m, chiều dài của bể là 25m, chiều sâu tại một đầu bể là 1,2m và chiều sâu tại đầu kia của bể là 2,0m.

Diện tích đáy của bể bơi (đáy là hình thang) là:
$$ S_{\text{đáy}} = \frac{(1,2 + 2,0) \times 25}{2} = \frac{3,2 \times 25}{2} = 40 \text{ m}^2 $$

Thể tích của bể bơi là:
$$ V = S_{\text{đáy}} \times \text{chiều rộng} = 40 \times 12 = 480 \text{ m}^3 $$

Bước 2: Tính thời gian cần thiết để máy bơm bơm đầy nước vào bể

Máy bơm nước với tốc độ không đổi là 60 m³/giờ. Thời gian cần thiết để máy bơm bơm đầy bể nước là:
$$ t = \frac{V}{\text{tốc độ bơm}} = \frac{480}{60} = 8 \text{ giờ} $$

Vậy sau 8 giờ thì máy bơm sẽ bơm đầy bể nước.

Đáp số: 8 giờ

Câu 4.
Gọi A là sự kiện "sản phẩm bị lỗi", $\overline{A}$ là sự kiện "sản phẩm không bị lỗi".
Gọi B là sự kiện "sản phẩm bị hệ thống 1 báo lỗi", $\overline{B}$ là sự kiện "sản phẩm không bị hệ thống 1 báo lỗi".
Gọi C là sự kiện "sản phẩm bị hệ thống 2 báo lỗi", $\overline{C}$ là sự kiện "sản phẩm không bị hệ thống 2 báo lỗi".
Ta có:
P(A) = 0,025; P($\overline{A}$) = 0,975
P(B|A) = 0,95; P(B|$\overline{A}$) = 0,01
P(C|A) = 0,9; P(C|$\overline{A}$) = 0,05
Suy ra:
P(AB) = P(A) × P(B|A) = 0,025 × 0,95 = 0,02375
P(A$\overline{B}$) = P(A) × P($\overline{B}$|A) = 0,025 × 0,05 = 0,00125
P($\overline{A}$B) = P($\overline{A}$) × P(B|$\overline{A}$) = 0,975 × 0,01 = 0,00975
P($\overline{A}$$\overline{B}$) = P($\overline{A}$) × P($\overline{B}$|$\overline{A}$) = 0,975 × 0,99 = 0,96525
P(AC) = P(A) × P(C|A) = 0,025 × 0,9 = 0,0225
P(A$\overline{C}$) = P(A) × P($\overline{C}$|A) = 0,025 × 0,1 = 0,0025
P($\overline{A}$C) = P($\overline{A}$) × P(C|$\overline{A}$) = 0,975 × 0,05 = 0,04875
P($\overline{A}$$\overline{C}$) = P($\overline{A}$) × P($\overline{C}$|$\overline{A}$) = 0,975 × 0,95 = 0,92625
Xác suất để sản phẩm bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi là:
P(BC) = P(ABC) + P(A$\overline{B}$C) + P($\overline{A}$BC) + P($\overline{A}$$\overline{B}$C)
= P(A) × P(B|A) × P(C|A) + P(A) × P($\overline{B}$|A) × P(C|A) + P($\overline{A}$) × P(B|$\overline{A}$) × P(C|$\overline{A}$) + P($\overline{A}$) × P($\overline{B}$|$\overline{A}$) × P(C|$\overline{A}$)
= 0,025 × 0,95 × 0,9 + 0,025 × 0,05 × 0,9 + 0,975 × 0,01 × 0,05 + 0,975 × 0,99 × 0,05
= 0,0234375
Xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi là:
P($\overline{A}$|BC) = $\frac{P(\overline{A}BC)}{P(BC)}$ = $\frac{P(\overline{A}) × P(B|\overline{A}) × P(C|\overline{A})}{P(BC)}$ = $\frac{0,975 × 0,01 × 0,05}{0,0234375}$ ≈ 0,021
Vậy a = 2, b = 1 nên a + b = 3.

Câu 5.
Gọi số tiền đầu tư vào quỹ cổ phiếu A là $ x $ (triệu đồng), số tiền đầu tư vào quỹ trái phiếu B là $ y $ (triệu đồng).

Ta có các điều kiện:
1. $ x + y \leq 2000 $
2. $ y \geq 300 $
3. $ x \leq 1500 $

Tổng lợi nhuận hàng năm từ hai quỹ là:
$$ P = 0.145x + 0.075y $$

Để tìm giá trị lớn nhất của $ P $, ta sẽ vẽ các miền thỏa mãn các điều kiện trên và tìm điểm cực đại trong miền đó.

1. Vẽ miền thỏa mãn $ x + y \leq 2000 $:
   - Khi $ x = 0 $, $ y = 2000 $
   - Khi $ y = 0 $, $ x = 2000 $

2. Vẽ miền thỏa mãn $ y \geq 300 $:
   - Đây là vùng phía trên đường thẳng $ y = 300 $

3. Vẽ miền thỏa mãn $ x \leq 1500 $:
   - Đây là vùng phía trái đường thẳng $ x = 1500 $

Giao điểm của các miền này tạo thành một đa giác lồi. Ta sẽ kiểm tra giá trị của $ P $ tại các đỉnh của đa giác này:
- Điểm $ (0, 2000) $:
  $$ P = 0.145(0) + 0.075(2000) = 150 $$
- Điểm $ (1500, 500) $:
  $$ P = 0.145(1500) + 0.075(500) = 217.5 + 37.5 = 255 $$
- Điểm $ (1500, 300) $:
  $$ P = 0.145(1500) + 0.075(300) = 217.5 + 22.5 = 240 $$

Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất của $ P $ là 255 triệu đồng, đạt được khi $ x = 1500 $ và $ y = 500 $.

Vậy tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất mà nhà đầu tư có thể đạt được là 255 triệu đồng.

Câu 6.
Để tính thể tích của tòa nhà, ta sẽ chia nó thành các phần nhỏ hơn và tính thể tích từng phần rồi cộng lại.

1. Phần dưới của tòa nhà (từ đáy lên đến vị trí có cạnh $L_{min} = 13,75$ m):
   - Đây là một hình chóp cụt có đáy là hình vuông cạnh $L_0 = 26$ m, đỉnh là hình vuông cạnh $L_{min} = 13,75$ m, và chiều cao là $h_1$.
   - Ta cần tìm chiều cao $h_1$ của phần này. Vì diện tích mặt cắt ngang thay đổi đều theo chiều cao, ta có:
     $$
     L_{min} = L_0 - \frac{L_0 - L_{30}}{30} \cdot h_1
     $$
     Thay các giá trị vào:
     $$
     13,75 = 26 - \frac{26 - 20}{30} \cdot h_1
     $$
     $$
     13,75 = 26 - \frac{6}{30} \cdot h_1
     $$
     $$
     13,75 = 26 - 0,2 \cdot h_1
     $$
     $$
     0,2 \cdot h_1 = 26 - 13,75
     $$
     $$
     0,2 \cdot h_1 = 12,25
     $$
     $$
     h_1 = \frac{12,25}{0,2} = 61,25 \text{ m}
     $$

2. Phần trên của tòa nhà (từ vị trí có cạnh $L_{min} = 13,75$ m lên đỉnh):
   - Đây là một hình chóp cụt có đáy là hình vuông cạnh $L_{min} = 13,75$ m, đỉnh là hình vuông cạnh $L_{30} = 20$ m, và chiều cao là $h_2$.
   - Ta cần tìm chiều cao $h_2$ của phần này. Vì diện tích mặt cắt ngang thay đổi đều theo chiều cao, ta có:
     $$
     L_{30} = L_{min} + \frac{L_{min} - L_{30}}{30 - h_1} \cdot h_2
     $$
     Thay các giá trị vào:
     $$
     20 = 13,75 + \frac{13,75 - 20}{30 - 61,25} \cdot h_2
     $$
     $$
     20 = 13,75 + \frac{-6,25}{-31,25} \cdot h_2
     $$
     $$
     20 = 13,75 + 0,2 \cdot h_2
     $$
     $$
     0,2 \cdot h_2 = 20 - 13,75
     $$
     $$
     0,2 \cdot h_2 = 6,25
     $$
     $$
     h_2 = \frac{6,25}{0,2} = 31,25 \text{ m}
     $$

3. Thể tích của phần dưới của tòa nhà:
   - Thể tích của một hình chóp cụt là:
     $$
     V_1 = \frac{1}{3} \cdot h_1 \cdot (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2})
     $$
     - Diện tích đáy $A_1 = 26^2 = 676 \text{ m}^2$
     - Diện tích đỉnh $A_2 = 13,75^2 = 189,0625 \text{ m}^2$
     - Thay các giá trị vào:
     $$
     V_1 = \frac{1}{3} \cdot 61,25 \cdot (676 + 189,0625 + \sqrt{676 \cdot 189,0625})
     $$
     $$
     V_1 = \frac{1}{3} \cdot 61,25 \cdot (676 + 189,0625 + 344,5)
     $$
     $$
     V_1 = \frac{1}{3} \cdot 61,25 \cdot 1209,5625
     $$
     $$
     V_1 = 25239,0625 \text{ m}^3
     $$

4. Thể tích của phần trên của tòa nhà:
   - Thể tích của một hình chóp cụt là:
     $$
     V_2 = \frac{1}{3} \cdot h_2 \cdot (A_2 + A_3 + \sqrt{A_2 \cdot A_3})
     $$
     - Diện tích đáy $A_2 = 13,75^2 = 189,0625 \text{ m}^2$
     - Diện tích đỉnh $A_3 = 20^2 = 400 \text{ m}^2$
     - Thay các giá trị vào:
     $$
     V_2 = \frac{1}{3} \cdot 31,25 \cdot (189,0625 + 400 + \sqrt{189,0625 \cdot 400})
     $$
     $$
     V_2 = \frac{1}{3} \cdot 31,25 \cdot (189,0625 + 400 + 278,5)
     $$
     $$
     V_2 = \frac{1}{3} \cdot 31,25 \cdot 867,5625
     $$
     $$
     V_2 = 9145,3125 \text{ m}^3
     $$

5. Thể tích tổng của tòa nhà:
   - Tổng thể tích là:
     $$
     V = V_1 + V_2 = 25239,0625 + 9145,3125 = 34384,375 \text{ m}^3
     $$

Vậy thể tích của tòa nhà là $\boxed{34384 \text{ m}^3}$.