Giup to voi

Câu 1. Để rút gọn biểu thức $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại các căn thức dưới dạng lũy thừa: - $$ - $$ - $$ 2. Nhân các lũy thừa cùng cơ số: - Ta có: $$ - Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $$ 3. Tính tổng các số mũ: - $$ - Quy đồng mẫu số: $$, $$, $$ - Cộng các phân số: $$ 4. Kết quả cuối cùng: - $$ Vậy biểu thức đã được rút gọn thành $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: $$ Bước 1: Giải bất phương trình $$. Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: $$ Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. Phương trình $$ có hai nghiệm là $$ và $$. Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. Ta xét các khoảng: $$, $$, và $$. - Trong khoảng $$, chọn $$: $$ - Trong khoảng $$, chọn $$: $$ - Trong khoảng $$, chọn $$: $$ Bước 4: Kết luận tập xác định. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng $$ chỉ đúng trong khoảng $$. Vậy tập xác định của hàm số $$ là: $$ Đáp án đúng là: $$. Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Ta xét góc giữa hai đường thẳng BA' và CD. Để làm điều này, ta cần tìm một đường thẳng song song với BA' và nằm trong mặt phẳng chứa CD. Ta thấy rằng đường thẳng A'D song song với BA' vì cả hai đều vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và có cùng chiều dài. Do đó, góc giữa BA' và CD sẽ bằng góc giữa A'D và CD. Trong mặt phẳng (A'DC), ta thấy rằng A'D và CD là hai cạnh của tam giác A'DC. Vì A'DC là tam giác đều (do tất cả các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau), nên góc giữa A'D và CD là 60°. Vậy góc giữa hai đường thẳng BA' và CD là 60°. Đáp án đúng là: $$ Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao: Vì $$, nên $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tìm hình chiếu của điểm $$ trên mặt phẳng (ABC): Hình chiếu của $$ trên mặt phẳng (ABC) là chính điểm $$ vì $$ nằm trong mặt phẳng (ABC). 3. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC): Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC), tức là góc $$. 4. Tính góc $$: - Ta biết rằng $$ và tam giác ABC đều cạnh $$, do đó $$. - Trong tam giác SAC, ta có: $$ - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A, do đó: $$ - Từ đó suy ra: $$ Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') có giao tuyến là đường thẳng AC. 2. Chọn một đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến AC: - Chọn đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC (vì ABCD là hình vuông). - Chọn đường thẳng AA' nằm trong mặt phẳng (ACC'A') và vuông góc với AC (vì AA' là cạnh đứng của hình lập phương). 3. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AA': - Vì BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên góc giữa BD và AA' chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'). - Ta thấy rằng AA' vuông góc với cả BD và AC, do đó góc giữa BD và AA' là góc vuông (90°). 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là góc giữa đường thẳng BD và đường thẳng AA'. - Vì AA' vuông góc với BD, nên góc giữa hai mặt phẳng này là 90°. Do đó, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Do đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). Vì sao? Vì trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O. Do đó, khoảng cách từ A đến (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến (SBD). Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (SBD) là $$. Vậy khoảng cách từ C đến (SBD) cũng sẽ là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể coi nó như một khối chóp với đáy là tam giác vuông ABC và chiều cao là AD. Bước 1: Tính diện tích đáy S của tam giác ABC. - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, do đó diện tích đáy S của tam giác ABC là: $$ Bước 2: Tính thể tích V của khối chóp ABCD. - Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức: $$ - Thay các giá trị đã biết vào công thức: $$ Vậy thể tích V của khối tứ diện ABCD là: $$ Đáp án đúng là: C. $$. Câu 8. Biến cố M: "Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Tiếng Anh". Biến cố N: "Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Ngữ Văn". Biến cố giao của hai biến cố M và N là: "Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển ghi môn Ngữ Văn". Vậy đáp án đúng là: C. "Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển ghi môn Ngữ Văn". Câu 9. Để tính xác suất 2 viên bi được chọn cùng màu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 viên bi từ hộp: Hộp có tổng cộng 9 viên bi (4 xanh + 3 đỏ + 2 vàng). Số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi là: $$ 2. Tìm số cách chọn 2 viên bi cùng màu: - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh: $$ - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ: $$ - Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng: $$ Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu là: $$ 3. Tính xác suất 2 viên bi được chọn cùng màu: Xác suất là tỷ lệ giữa số cách chọn 2 viên bi cùng màu và tổng số cách chọn 2 viên bi: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng bi chẵn trong hộp I: - Hộp I có các viên bi được đánh số từ 1 đến 9. - Các số chẵn trong khoảng này là: 2, 4, 6, 8. - Vậy hộp I có 4 viên bi chẵn. 2. Xác định xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp I: - Số lượng bi tổng cộng trong hộp I là 9. - Số lượng bi chẵn trong hộp I là 4. - Xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp I là: $$ 3. Xác định xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp II: - Theo đề bài, xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp II là $$. 4. Tính xác suất để lấy được cả hai viên bi chẵn từ cả hai hộp: - Xác suất để lấy được cả hai viên bi chẵn từ cả hai hộp là tích của xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp I và xác suất lấy được viên bi chẵn từ hộp II: $$ $$ Vậy xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là $$.