Ndjsnsnsnsnnssi PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=e^{4x^2+3x-7}$ tại $x=-2.$ .(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị),Câu 2: Cho hình lập phương ABCD-A'BB'''' . Tính sin của góc giữa hai đường thhng A'B vv,A'B'C'D' . (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm),,Câu 3: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1980 được ước tính bởi công thức,$f(t)=\frac{27t+10}{t+5}$ (đơn vị: nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số,của thị trấn (đơn vị: nghìn người/năm). Hỏi vào năm 2025, tốc độ tăng dân số của thị trấn này là bao,nhiêu nghìn người/năm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 4: Biết rằng mức cường độ âm (đo bằng dB ) được tính bởi công thức $L=10\log\frac I{I_0},$ trong đó,I là cường độ âm tính theo $W/m^2$ và $I_0=10^{-12}(W/m^2).$ Âm thanh trên một tuyến đường giao thông,có mức cường độ âm thay đổi từ 75dB đến 90dB , khi đó cường độ âm thay đổi trong đoạn $[10^m;10^n]$,(trong đó m,n là các số thập phân). Tính giá trị $m-n$,PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh giải chi tiết từ câu 1 đến câu 3 .,Câu 1: (1 điểm) Cho hàm số $f(x)=(x^3+7)\cos(0,3\pi x+3).$ Tính $f^\prime(x).$,Câu 2.Cho hình chóp S.ABC có đáy $\Delta ABC$ vuông tại A có $SC=2a;$ SA vuông góc với mặt,phẳng $(ABC),SA=a\sqrt3.$,a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng: $AC\bot(SAB).$,b) (1 điểm) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng SC,và MN .,Câu 3: (0,5 điểm) Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=\frac13t^3-4t^2+19t+5,$ trong,đó $t0,$ t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm chất,điểm có vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu $(m/s^2)?$,-----HẾT-----

Question

Ndjsnsnsnsnnssi PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=e^{4x^2+3x-7}$ tại $x=-2.$ .(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị),Câu 2: Cho hình lập phương ABCD-A'BB'''' . Tính sin của góc giữa hai đường thhng A'B vv,A'B'C'D' . (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/3c717e9123374abab667d3f8ea6ec57e.jpg />,Câu 3: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1980 được ước tính bởi công thức,$f(t)=\frac{27t+10}{t+5}$ (đơn vị: nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số,của thị trấn (đơn vị: nghìn người/năm). Hỏi vào năm 2025, tốc độ tăng dân số của thị trấn này là bao,nhiêu nghìn người/năm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 4: Biết rằng mức cường độ âm (đo bằng dB ) được tính bởi công thức $L=10\log\frac I{I_0},$ trong đó,I là cường độ âm tính theo $W/m^2$ và $I_0=10^{-12}(W/m^2).$ Âm thanh trên một tuyến đường giao thông,có mức cường độ âm thay đổi từ 75dB đến 90dB , khi đó cường độ âm thay đổi trong đoạn $[10^m;10^n]$,(trong đó m,n là các số thập phân). Tính giá trị $m-n$,PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh giải chi tiết từ câu 1 đến câu 3 .,Câu 1: (1 điểm) Cho hàm số $f(x)=(x^3+7)\cos(0,3\pi x+3).$ Tính $f^\prime(x).$,Câu 2.Cho hình chóp S.ABC có đáy $\Delta ABC$ vuông tại A có $SC=2a;$ SA vuông góc với mặt,phẳng $(ABC),SA=a\sqrt3.$,a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng: $AC\bot(SAB).$,b) (1 điểm) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng SC,và MN .,Câu 3: (0,5 điểm) Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=\frac13t^3-4t^2+19t+5,$ trong,đó $t>0,$ t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm chất,điểm có vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu $(m/s^2)?$,-----HẾT-----

Accepted Answer

Câu 1: Để tính đạo hàm của hàm số $y = e^{4x^2 + 3x - 7}$ tại $x = -2$, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số và tìm đạo hàm của nó. Hàm số đã cho là $y = e^{4x^2 + 3x - 7}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và chuỗi, ta có: $$ y' = e^{4x^2 + 3x - 7} \cdot (4x^2 + 3x - 7)' $$ Bước 2: Tính đạo hàm của biểu thức trong mũ. $$ (4x^2 + 3x - 7)' = 8x + 3 $$ Bước 3: Thay vào biểu thức đạo hàm. $$ y' = e^{4x^2 + 3x - 7} \cdot (8x + 3) $$ Bước 4: Thay $x = -2$ vào biểu thức đạo hàm để tính giá trị đạo hàm tại điểm đó. $$ y'(-2) = e^{4(-2)^2 + 3(-2) - 7} \cdot (8(-2) + 3) $$ $$ y'(-2) = e^{4(4) - 6 - 7} \cdot (-16 + 3) $$ $$ y'(-2) = e^{16 - 6 - 7} \cdot (-13) $$ $$ y'(-2) = e^{3} \cdot (-13) $$ Bước 5: Tính giá trị của biểu thức trên. $$ e^3 \approx 20.0855 $$ $$ y'(-2) \approx 20.0855 \cdot (-13) $$ $$ y'(-2) \approx -261.1115 $$ Bước 6: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị. $$ y'(-2) \approx -261 $$ Vậy giá trị đạo hàm của hàm số $y = e^{4x^2 + 3x - 7}$ tại $x = -2$ là $-261$. Câu 2: Để tính sin của góc giữa hai đường thẳng A'B và A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Hình lập phương ABCD-A'B'C'D' có các đỉnh A, B, C, D, A', B', C', D'. - Đường thẳng A'B đi qua các đỉnh A' và B. - Mặt phẳng A'B'C'D' bao gồm các đỉnh A', B', C', D'. 2. Tìm giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng A'B'C'D': - Đường thẳng A'B cắt mặt phẳng A'B'C'D' tại điểm B'. 3. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng A'B'C'D' là góc giữa đường thẳng A'B và đường thẳng B'B (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A'B'C'D' tại điểm B'). 4. Tính toán: - Trong hình lập phương, ta có thể coi cạnh lập phương là đơn vị 1. - Độ dài đoạn thẳng A'B là $\sqrt{2}$ (theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian). - Độ dài đoạn thẳng B'B là 1 (do B'B là cạnh đứng của hình lập phương). 5. Áp dụng công thức tính sin của góc: - Gọi góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng A'B'C'D' là $\theta$. - Ta có: $\sin(\theta) = \frac{\text{B'B}}{\text{A'B}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71$ Vậy, sin của góc giữa hai đường thẳng A'B và A'B'C'D' là $\frac{\sqrt{2}}{2}$, làm tròn đến hàng phần trăm là 0.71. Câu 3: Để tìm tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm 2025, ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(t) $ và sau đó thay giá trị $ t $ tương ứng vào đạo hàm đó. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ f(t) $. Hàm số $ f(t) = \frac{27t + 10}{t + 5} $. Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(t) = \frac{(27t + 10)'(t + 5) - (27t + 10)(t + 5)'}{(t + 5)^2} $$ Tính đạo hàm từng thành phần: $$ (27t + 10)' = 27 $$ $$ (t + 5)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ f'(t) = \frac{27(t + 5) - (27t + 10)}{(t + 5)^2} $$ $$ f'(t) = \frac{27t + 135 - 27t - 10}{(t + 5)^2} $$ $$ f'(t) = \frac{125}{(t + 5)^2} $$ Bước 2: Xác định giá trị của $ t $ vào năm 2025. Năm 2025 cách năm 1980 là: $$ t = 2025 - 1980 = 45 $$ Bước 3: Thay $ t = 45 $ vào đạo hàm $ f'(t) $. $$ f'(45) = \frac{125}{(45 + 5)^2} $$ $$ f'(45) = \frac{125}{50^2} $$ $$ f'(45) = \frac{125}{2500} $$ $$ f'(45) = 0.05 $$ Vậy tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm 2025 là 0.05 nghìn người/năm. Đáp số: 0.05 nghìn người/năm. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm cường độ âm khi mức cường độ âm là 75 dB: $$ L = 10 \log \frac{I}{I_0} $$ Với $ L = 75 $ dB và $ I_0 = 10^{-12} \, W/m^2 $: $$ 75 = 10 \log \frac{I}{10^{-12}} $$ Chia cả hai vế cho 10: $$ 7.5 = \log \frac{I}{10^{-12}} $$ Đổi về dạng số mũ: $$ \frac{I}{10^{-12}} = 10^{7.5} $$ Nhân cả hai vế với $ 10^{-12} $: $$ I = 10^{7.5} \times 10^{-12} = 10^{-4.5} \, W/m^2 $$ 2. Tìm cường độ âm khi mức cường độ âm là 90 dB: $$ L = 10 \log \frac{I}{I_0} $$ Với $ L = 90 $ dB và $ I_0 = 10^{-12} \, W/m^2 $: $$ 90 = 10 \log \frac{I}{10^{-12}} $$ Chia cả hai vế cho 10: $$ 9 = \log \frac{I}{10^{-12}} $$ Đổi về dạng số mũ: $$ \frac{I}{10^{-12}} = 10^9 $$ Nhân cả hai vế với $ 10^{-12} $: $$ I = 10^9 \times 10^{-12} = 10^{-3} \, W/m^2 $$ 3. Xác định khoảng cường độ âm: Cường độ âm thay đổi từ $ 10^{-4.5} \, W/m^2 $ đến $ 10^{-3} \, W/m^2 $. 4. Tính giá trị $ m - n $: Trong đoạn $[10^m; 10^n]$, ta có $ m = -4.5 $ và $ n = -3 $: $$ m - n = -4.5 - (-3) = -4.5 + 3 = -1.5 $$ Vậy giá trị của $ m - n $ là $-1.5$. Câu 1: Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = (x^3 + 7)\cos(0,3\pi x + 3)$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của tích của hai hàm số và quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. Bước 1: Xác định các hàm con trong tích: - Gọi $u(x) = x^3 + 7$ - Gọi $v(x) = \cos(0,3\pi x + 3)$ Bước 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm con: - Đạo hàm của $u(x)$ là $u'(x) = 3x^2$ - Đạo hàm của $v(x)$ là $v'(x) = -\sin(0,3\pi x + 3) \cdot (0,3\pi)$ Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: $$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ Thay vào các giá trị đã tính: $$ f'(x) = 3x^2 \cdot \cos(0,3\pi x + 3) + (x^3 + 7) \cdot (-\sin(0,3\pi x + 3) \cdot 0,3\pi) $$ Bước 4: Rút gọn biểu thức: $$ f'(x) = 3x^2 \cos(0,3\pi x + 3) - 0,3\pi (x^3 + 7) \sin(0,3\pi x + 3) $$ Vậy, đạo hàm của hàm số $f(x) = (x^3 + 7)\cos(0,3\pi x + 3)$ là: $$ f'(x) = 3x^2 \cos(0,3\pi x + 3) - 0,3\pi (x^3 + 7) \sin(0,3\pi x + 3) $$ Câu 2. a) Ta có $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AC.$ Mặt khác, $\Delta ABC$ vuông tại A nên $AC\perp AB.$ Từ đó ta suy ra $AC\perp (SAB).$ b) Ta có $MN\parallel AC$ nên góc giữa hai đường thẳng SC và MN bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC. Ta có $AC\perp AB,AC\perp SA$ nên $AC\perp (SAB).$ Suy ra $AC\perp SB.$ Ta có $SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{(a\sqrt{3})^2+(2a)^2}=a\sqrt{7}.$ Diện tích $\Delta SAB=\frac{1}{2}\times SA\times AB=\frac{1}{2}\times a\sqrt{3}\times 2a=a^2\sqrt{3}.$ Diện tích $\Delta SAB=\frac{1}{2}\times SB\times AC_{1}=\frac{1}{2}\times a\sqrt{7}\times AC_{1}=a^2\sqrt{3}.$ Suy ra $AC_{1}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.$ Ta có $SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{(a\sqrt{3})^2+(2a)^2}=a\sqrt{7}.$ Suy ra $\sin (\widehat{ASC})=\frac{AC_{1}}{SC}=\frac{\frac{2a\sqrt{21}}{7}}{a\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{3}}{7}.$ Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và MN là góc ASC có $\sin (\widehat{ASC})=\frac{2\sqrt{3}}{7}.$ Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời $ v(t) $ của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động $ s(t) $: $$ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3} t^3 - 4t^2 + 19t + 5 \right) $$ Tính đạo hàm: $$ v(t) = t^2 - 8t + 19 $$ 2. Tìm thời điểm chất điểm có vận tốc nhỏ nhất: Để tìm thời điểm chất điểm có vận tốc nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $ v(t) = t^2 - 8t + 19 $. Ta sử dụng phương pháp tìm cực tiểu của hàm bậc hai: $$ v(t) = t^2 - 8t + 19 $$ Đạo hàm của $ v(t) $: $$ v'(t) = 2t - 8 $$ Đặt $ v'(t) = 0 $: $$ 2t - 8 = 0 \implies t = 4 $$ Kiểm tra dấu của đạo hàm $ v'(t) $ ở hai bên $ t = 4 $: - Khi $ t < 4 $, $ v'(t) < 0 $ - Khi $ t > 4 $, $ v'(t) > 0 $ Vậy $ t = 4 $ là điểm cực tiểu của $ v(t) $. 3. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm $ t = 4 $: Gia tốc tức thời $ a(t) $ là đạo hàm của vận tốc tức thời $ v(t) $: $$ a(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - 8t + 19) $$ Tính đạo hàm: $$ a(t) = 2t - 8 $$ Thay $ t = 4 $ vào: $$ a(4) = 2 \cdot 4 - 8 = 0 $$ Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm chất điểm có vận tốc nhỏ nhất là $ 0 \, m/s^2 $. Đáp số: $ 0 \, m/s^2 $