Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH.
a, Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBA, từ đó suy ra AB.AH=BH.AC.
b, Tia phân giác ∠ABC cắt AH tại I. Biết BH=3cm, AB=5cm. Tính AI, HI.
c, Tia phân giác ∠HAC cắt BC tại K. Chứng minh IK//AC

Question

Accepted Answer

a, Ta có:
- ∠BAC = ∠BHA = 90°
- ∠ABC chung

Do đó, ΔABC đồng dạng với ΔHBA (g-g)

Từ đó ta suy ra:
$$ \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{AH} $$

Nhân cả hai vế với AB.AH ta được:
$$ AB.AH = BH.AC $$

b, Ta có:
- ∠ABI = ∠CBI (tia phân giác)
- ∠BAI = ∠BCI (góc ngoài tam giác)

Do đó, ΔABI đồng dạng với ΔBCI (g-g)

Từ đó ta suy ra:
$$ \frac{AI}{CI} = \frac{AB}{BC} $$

Biết BH = 3 cm, AB = 5 cm. Ta tính BC bằng Pythagoras:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} $$

Ta có:
$$ \frac{AI}{CI} = \frac{5}{\sqrt{41}} $$

Gọi AI = 5k, CI = k√41. Ta có:
$$ AI + CI = AH $$
$$ 5k + k\sqrt{41} = 4 $$
$$ k(5 + \sqrt{41}) = 4 $$
$$ k = \frac{4}{5 + \sqrt{41}} $$

Rationalizing the denominator:
$$ k = \frac{4(5 - \sqrt{41})}{(5 + \sqrt{41})(5 - \sqrt{41})} = \frac{4(5 - \sqrt{41})}{25 - 41} = \frac{4(5 - \sqrt{41})}{-16} = \frac{\sqrt{41} - 5}{4} $$

Vậy:
$$ AI = 5k = 5 \cdot \frac{\sqrt{41} - 5}{4} = \frac{5(\sqrt{41} - 5)}{4} $$
$$ HI = AH - AI = 4 - \frac{5(\sqrt{41} - 5)}{4} = \frac{16 - 5\sqrt{41} + 25}{4} = \frac{41 - 5\sqrt{41}}{4} $$

c, Ta có:
- ∠HAK = ∠CAK (tia phân giác)
- ∠AKH = ∠ACK (góc ngoài tam giác)

Do đó, ΔAKH đồng dạng với ΔACK (g-g)

Từ đó ta suy ra:
$$ \frac{AK}{CK} = \frac{AH}{AC} $$

Vì AK = CK nên:
$$ \frac{AK}{CK} = 1 $$

Do đó:
$$ \frac{AH}{AC} = 1 $$

Vậy IK // AC (cùng song song với AC)

Đáp số:
$$ AI = \frac{5(\sqrt{41} - 5)}{4} $$
$$ HI = \frac{41 - 5\sqrt{41}}{4} $$

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. a, Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBA, từ đó suy ra AB.AH=BH.AC. b, Tia phân giác ∠ABC cắt AH tại I. Biết BH=3cm, AB=5cm. Tính AI, HI. c, Tia phân giác ∠HAC cắt BC t...