Cho a, b thỏa mãn 10a² - 3b² + 5ab = 0 và 9a² ≠ b². Tính giá trị của biểu thức T = (2a - b) / (3a - b) + (5b - a) / (3a + b).

Question

Accepted Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ T = \frac{2a - b}{3a - b} + \frac{5b - a}{3a + b} $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Ta cần đảm bảo rằng các mẫu số không bằng 0, tức là $ 3a - b \neq 0 $ và $ 3a + b \neq 0 $.

Bước 2: Giải phương trình $ 10a^2 - 3b^2 + 5ab = 0 $
- Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng phân tích:
$$ 10a^2 + 5ab - 3b^2 = 0 $$
- Ta nhận thấy rằng phương trình này có thể được viết dưới dạng:
$$ 10a^2 + 5ab - 3b^2 = (2a - b)(5a + 3b) = 0 $$

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình
- Từ phương trình $ (2a - b)(5a + 3b) = 0 $, ta có hai trường hợp:
  1. $ 2a - b = 0 $ 
  2. $ 5a + 3b = 0 $

Bước 4: Thay các nghiệm vào biểu thức $ T $
- Trường hợp 1: $ 2a - b = 0 $ hay $ b = 2a $
  $$
  T = \frac{2a - 2a}{3a - 2a} + \frac{5(2a) - a}{3a + 2a} = \frac{0}{a} + \frac{10a - a}{5a} = 0 + \frac{9a}{5a} = \frac{9}{5}
  $$

- Trường hợp 2: $ 5a + 3b = 0 $ hay $ b = -\frac{5}{3}a $
  $$
  T = \frac{2a - (-\frac{5}{3}a)}{3a - (-\frac{5}{3}a)} + \frac{5(-\frac{5}{3}a) - a}{3a + (-\frac{5}{3}a)}
  $$
  $$
  = \frac{2a + \frac{5}{3}a}{3a + \frac{5}{3}a} + \frac{-\frac{25}{3}a - a}{3a - \frac{5}{3}a}
  $$
  $$
  = \frac{\frac{6a + 5a}{3}}{\frac{9a + 5a}{3}} + \frac{\frac{-25a - 3a}{3}}{\frac{9a - 5a}{3}}
  $$
  $$
  = \frac{\frac{11a}{3}}{\frac{14a}{3}} + \frac{\frac{-28a}{3}}{\frac{4a}{3}}
  $$
  $$
  = \frac{11a}{14a} + \frac{-28a}{4a}
  $$
  $$
  = \frac{11}{14} + \frac{-28}{4}
  $$
  $$
  = \frac{11}{14} - 7
  $$
  $$
  = \frac{11}{14} - \frac{98}{14}
  $$
  $$
  = \frac{11 - 98}{14}
  $$
  $$
  = \frac{-87}{14}
  $$

Tuy nhiên, do $ 9a^2 \neq b^2 $, nên trường hợp $ b = -\frac{5}{3}a $ không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vậy chỉ có trường hợp $ b = 2a $ là hợp lý.

Kết luận: Giá trị của biểu thức $ T $ là $ \frac{9}{5} $.