I.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 3x -1. Tính f(0); f(-2); f(2); f); f().
Bài 2: Trong các hàm số y = 3x + 1; y = -x + 2; y = 3x2 -1 hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a,b của chúng.
Bài 3: Cho đường thẳng d: y = (m-1)x + 1 Với giá trị nào của m để:
a/ Đường thẳng d song song với đường thẳng d1 : y = 3x + 2.
b/ Đường thẳng d cắt đường thẳng d2 : y = -2x + 3.
Bài 4: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua A(1;-4).
II.PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các phương trình
a) 2x – 3 = 0 b) 3x – 2 = 2x – 3 c) 10x + 3 – 5x = 4x + 12 d) 13 – (x – 2) = 2(x + 1)
Bài 2: Giải các phương trình
a). b) c)
Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với tốc độ 15 km /h. Lúc về người đó đi với tốc độ 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4: Năm nay tuổi của mẹ gấp ba lần tuổi của Trang. Biết rằng 5 năm sau tổng số tuổi của mẹ và Trang là 66 tuổi. Hỏi năm nay Trang bao nhiêu tuổi?
Bài 5: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 9m và có chu vi 58m. Tính diện tích khu vườn
Bài 6. Cô Vân đi siêu thị mua một món hàng đang có chương trình khuyến mãi giảm giá 20%, do có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên cô Vân được giảm thêm 5% trên giá đã giảm, do đó cô chỉ phải trả 266 000 đồng cho món hàng đó. Hỏi giá ban đầu của món hàng đó nếu không có khuyến mãi là bao nhiêu?
III.THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT:
Bài 1: Một túi chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng. Linh lần lượt lấy ra một cách ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Viên bi lấy ra có màu xanh”;
B: “Viên bi lấy ra không có màu đỏ”;
Bài 2. Một hộp chứa 6 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt là 3; 4; 5; 8; 13; 23. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố.
A: “Số ghi trên thẻ là số chẳn”
B: “Số ghi trên thẻ là số nguyên tố”
II. HÌNH HỌC:
Bài 1. Cho có D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Tính độ dài cạnh DE, biết BC=8cm.
Bài 2: Cho vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của cắt AC tại D. Tính AD, CD
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB //CD). Biết DB là tia phân giác của và = . Chứng minh rằng:
a) ABD đồng dạng với BDC.
b) BD2 = AB.DC
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H
a) Chứng minh hai tam giác AMN và ABC đồng dạng
b) Phân giác của cắt MN và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh

Question

I.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ:
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 3x -1. Tính f(0); f(-2); f(2); f); f().
Bài 2: Trong các hàm số y = 3x + 1; y = -x + 2; y = 3x2 -1 hàm số nào là hàm số bậc nhất? ​Hãy xác định hệ số a,b của chúng.
Bài 3: Cho đường thẳng d: y = (m-1)x + 1 Với giá trị nào của m để:
a/  Đường thẳng d song song với đường thẳng d1 : y = 3x + 2.
b/ Đường thẳng d cắt đường thẳng d2 : y = -2x + 3.
Bài 4: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng  y = 2x + 1 và đi qua A(1;-4).
II.PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các phương trình
a) 2x – 3 = 0              b) 3x – 2 = 2x – 3        c) 10x + 3 – 5x = 4x + 12      d) 13 – (x – 2) = 2(x + 1)
Bài 2: Giải các phương trình  
 a).              b)                    c)  
Bài 3:  Một người đi xe đạp từ A đến B với tốc độ 15 km /h. Lúc về người đó đi với  tốc độ 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4: Năm nay tuổi của mẹ gấp ba lần tuổi của Trang. Biết rằng 5 năm sau tổng số tuổi của mẹ và Trang là 66 tuổi. Hỏi năm nay Trang bao nhiêu tuổi?
Bài 5: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 9m và có chu vi  58m. Tính diện tích khu vườn
Bài 6. Cô Vân đi siêu thị mua một món hàng đang có chương trình khuyến mãi giảm giá 20%, do có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên cô Vân được giảm thêm 5% trên giá đã giảm, do đó cô chỉ phải trả 266 000 đồng cho món hàng đó. Hỏi giá ban đầu của món hàng đó nếu không có khuyến mãi là bao nhiêu?
III.THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT:
Bài 1:  Một túi chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng. Linh lần lượt lấy ra một cách ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Viên bi lấy ra có  màu xanh”;
B:  “Viên bi lấy ra không có màu đỏ”;
Bài 2.  Một hộp chứa 6 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt là 3; 4; 5; 8; 13; 23. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố.
A: “Số ghi trên thẻ là số chẳn”
B: “Số ghi trên thẻ là số nguyên tố”
II. HÌNH HỌC:
Bài 1. Cho  có D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Tính độ dài cạnh DE, biết BC=8cm.
Bài 2: Cho  vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của  cắt AC tại D. Tính AD, CD
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB //CD). Biết  DB là tia phân giác của và = . Chứng minh rằng:
a)   ABD đồng dạng với BDC.
b)  BD2 = AB.DC    
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H
a) Chứng minh hai tam giác AMN và ABC đồng dạng
b) Phân giác của  cắt MN và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh

Accepted Answer

Bài 1:
Để tính giá trị của hàm số $ y = f(x) = 3x - 1 $ tại các điểm $ x = 0 $, $ x = -2 $, $ x = 2 $, $ x = \frac{1}{3} $, và $ x = -\frac{1}{3} $, ta thay lần lượt các giá trị của $ x $ vào biểu thức của hàm số.

1. Tính $ f(0) $:
$$ f(0) = 3 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1 $$

2. Tính $ f(-2) $:
$$ f(-2) = 3 \cdot (-2) - 1 = -6 - 1 = -7 $$

3. Tính $ f(2) $:
$$ f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5 $$

4. Tính $ f\left(\frac{1}{3}\right) $:
$$ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 $$

5. Tính $ f\left(-\frac{1}{3}\right) $:
$$ f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = -1 - 1 = -2 $$

Vậy các giá trị của hàm số là:
- $ f(0) = -1 $
- $ f(-2) = -7 $
- $ f(2) = 5 $
- $ f\left(\frac{1}{3}\right) = 0 $
- $ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -2 $

Đáp số: 
- $ f(0) = -1 $
- $ f(-2) = -7 $
- $ f(2) = 5 $
- $ f\left(\frac{1}{3}\right) = 0 $
- $ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -2 $

Bài 2:
Các hàm số y = 3x + 1 và y = -x + 2 là các hàm số bậc nhất.

- Hàm số y = 3x + 1 có hệ số a = 3 và b = 1.
- Hàm số y = -x + 2 có hệ số a = -1 và b = 2.

Hàm số y = 3x^2 - 1 không phải là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax^2 + bx + c với a ≠ 0.

Bài 3:
a/ Để đường thẳng d song song với đường thẳng d1, ta cần có cùng hệ số góc. Do đó:
m - 1 = 3
m = 4

b/ Để đường thẳng d cắt đường thẳng d2, ta cần có hệ số góc khác nhau. Do đó:
m - 1 ≠ -2
m ≠ -1

Đáp số: 
a) m = 4
b) m ≠ -1

Bài 4:
Để xác định hàm số $ y = ax + b $ biết đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng $ y = 2x + 1 $ và đi qua điểm $ A(1; -4) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hệ số $ a $
- Vì đồ thị hàm số $ y = ax + b $ song song với đường thẳng $ y = 2x + 1 $, nên hệ số góc $ a $ của chúng phải bằng nhau.
- Vậy $ a = 2 $.

Bước 2: Tìm hệ số $ b $
- Thay tọa độ điểm $ A(1; -4) $ vào phương trình $ y = 2x + b $:
$$ -4 = 2 \cdot 1 + b $$
$$ -4 = 2 + b $$
$$ b = -4 - 2 $$
$$ b = -6 $$

Bước 3: Viết phương trình hàm số
- Kết hợp các giá trị đã tìm được, ta có phương trình hàm số là:
$$ y = 2x - 6 $$

Vậy hàm số cần tìm là $ y = 2x - 6 $.

Bài 1:
a) 2x – 3 = 0

2x = 3

x = $\frac{3}{2}$

b) 3x – 2 = 2x – 3

3x – 2x = -3 + 2

x = -1

c) 10x + 3 – 5x = 4x + 12

10x – 5x – 4x = 12 – 3

x = 9

d) 13 – (x – 2) = 2(x + 1)

13 – x + 2 = 2x + 2

-x – 2x = 2 – 13 – 2

-3x = -13

x = $\frac{13}{3}$

Bài 2:
Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi sẽ giải các phương trình theo từng bước một cách chi tiết và phù hợp với trình độ lớp 8. Tuy nhiên, bạn chưa cung cấp cụ thể các phương trình cần giải. Vì vậy, tôi sẽ giả sử ba phương trình sau đây để minh họa cách giải:

a) $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
b) $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $
c) $ x^2 - 4x + 4 = 0 $

a) Giải phương trình $ x^2 - 5x + 6 = 0 $

Phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Tìm hai số có tổng là -5 và tích là 6.
   - Các cặp số có tích là 6: (1, 6), (-1, -6), (2, 3), (-2, -3).
   - Cặp số có tổng là -5: (-2, -3).

2. Viết phương trình dưới dạng tích:
   $$
   x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
   $$

3. Áp dụng tính chất của phương trình tích:
   $$
   (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \text{ hoặc } x - 3 = 0
   $$
   $$
   x = 2 \text{ hoặc } x = 3
   $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 2 $ hoặc $ x = 3 $.

b) Giải phương trình $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $

Phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Tìm hai số có tổng là -3 và tích là $ 2 \times (-2) = -4 $.
   - Các cặp số có tích là -4: (1, -4), (-1, 4), (2, -2), (-2, 2).
   - Cặp số có tổng là -3: (1, -4).

2. Viết phương trình dưới dạng tích:
   $$
   2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0
   $$

3. Áp dụng tính chất của phương trình tích:
   $$
   (2x + 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \text{ hoặc } x - 2 = 0
   $$
   $$
   2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \text{ hoặc } x = 2
   $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = -\frac{1}{2} $ hoặc $ x = 2 $.

c) Giải phương trình $ x^2 - 4x + 4 = 0 $

Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức

1. Nhận thấy rằng $ x^2 - 4x + 4 $ là một hằng đẳng thức:
   $$
   x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
   $$

2. Viết phương trình dưới dạng bình phương:
   $$
   (x - 2)^2 = 0
   $$

3. Áp dụng tính chất của phương trình bình phương:
   $$
   (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x - 2 = 0
   $$
   $$
   x = 2
   $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 2 $.

Kết luận
- Phương trình $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ có nghiệm là $ x = 2 $ hoặc $ x = 3 $.
- Phương trình $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $ có nghiệm là $ x = -\frac{1}{2} $ hoặc $ x = 2 $.
- Phương trình $ x^2 - 4x + 4 = 0 $ có nghiệm là $ x = 2 $.

Bài 3:
Gọi vận tốc người đi xe đạp từ A đến B là $v_{1}$ với thời gian là $t_{1}$ giờ.
Gọi vận tốc người đi xe đạp từ B về A là $v_{2}$ với thời gian là $t_{2}$ giờ.
Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút, ta có:
$t_{2} = t_{1} + \frac{45}{60} = t_{1} + \frac{3}{4}$ (giờ)

Quãng đường AB là:
$AB = v_{1} \times t_{1} = 15 \times t_{1}$ (km)
$AB = v_{2} \times t_{2} = 12 \times (t_{1} + \frac{3}{4})$ (km)

Vì quãng đường AB không đổi, ta có:
$15 \times t_{1} = 12 \times (t_{1} + \frac{3}{4})$
$15 \times t_{1} = 12 \times t_{1} + 12 \times \frac{3}{4}$
$15 \times t_{1} = 12 \times t_{1} + 9$
$15 \times t_{1} - 12 \times t_{1} = 9$
$3 \times t_{1} = 9$
$t_{1} = 9 : 3$
$t_{1} = 3$ (giờ)

Thời gian người đi xe đạp từ A đến B là 3 giờ.
Quãng đường AB là:
$AB = 15 \times 3 = 45$ (km)

Đáp số: 45 km

Bài 4:
Gọi tuổi của Trang hiện nay là $ x $ (tuổi, điều kiện: $ x > 0 $).

Tuổi của mẹ hiện nay là $ 3x $ (tuổi).

Sau 5 năm, tuổi của Trang sẽ là $ x + 5 $ (tuổi).

Sau 5 năm, tuổi của mẹ sẽ là $ 3x + 5 $ (tuổi).

Theo đề bài, tổng số tuổi của mẹ và Trang sau 5 năm là 66 tuổi, ta có phương trình:
$$ (x + 5) + (3x + 5) = 66 $$

Giải phương trình:
$$ x + 5 + 3x + 5 = 66 $$
$$ 4x + 10 = 66 $$
$$ 4x = 66 - 10 $$
$$ 4x = 56 $$
$$ x = \frac{56}{4} $$
$$ x = 14 $$

Vậy năm nay Trang 14 tuổi.

Đáp số: 14 tuổi.

Bài 5:
Để tính diện tích khu vườn hình chữ nhật, chúng ta cần biết chiều dài và chiều rộng của nó. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. Tìm tổng chiều dài và chiều rộng:
   Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
   $$
   P = 2 \times (dài + rộng)
   $$
   Biết chu vi là 58m, ta có:
   $$
   2 \times (dài + rộng) = 58
   $$
   Chia cả hai vế cho 2:
   $$
   dài + rộng = 29
   $$

2. Tìm hiệu chiều dài và chiều rộng:
   Biết chiều dài hơn chiều rộng 9m, ta có:
   $$
   dài - rộng = 9
   $$

3. Tìm chiều dài và chiều rộng:
   Ta có hai phương trình:
   $$
   dài + rộng = 29
   $$
   $$
   dài - rộng = 9
   $$
   Để tìm chiều dài, ta cộng hai phương trình này lại:
   $$
   (dài + rộng) + (dài - rộng) = 29 + 9
   $$
   $$
   2 \times dài = 38
   $$
   Chia cả hai vế cho 2:
   $$
   dài = 19
   $$
   Để tìm chiều rộng, ta thay giá trị của chiều dài vào phương trình đầu tiên:
   $$
   19 + rộng = 29
   $$
   Trừ 19 từ cả hai vế:
   $$
   rộng = 10
   $$

4. Tính diện tích khu vườn:
   Diện tích của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
   $$
   S = dài \times rộng
   $$
   Thay các giá trị đã tìm được:
   $$
   S = 19 \times 10 = 190 \text{ m}^2
   $$

Vậy diện tích khu vườn là 190 m².

Bài 6.
Giá bán của món hàng sau khi giảm 20% so với giá ban đầu là:
$$ 100\% - 20\% = 80\% \text{ của giá ban đầu} $$

Giá bán của món hàng sau khi giảm thêm 5% trên giá đã giảm là:
$$ 100\% - 5\% = 95\% \text{ của giá sau khi giảm 20\%} $$

Do đó, giá bán cuối cùng của món hàng là:
$$ 95\% \text{ của } 80\% \text{ của giá ban đầu} = \frac{95}{100} \times \frac{80}{100} \text{ của giá ban đầu} = \frac{76}{100} \text{ của giá ban đầu} = 76\% \text{ của giá ban đầu} $$

Biết rằng giá bán cuối cùng là 266 000 đồng, ta có:
$$ 76\% \text{ của giá ban đầu} = 266 000 \text{ đồng} $$

Ta tính giá ban đầu của món hàng:
$$ \text{Giá ban đầu} = \frac{266 000}{76} \times 100 = 350 000 \text{ đồng} $$

Đáp số: 350 000 đồng

Bài 1:
Tổng số viên bi trong túi là:
$$ 4 + 5 + 6 = 15 \text{ (viên bi)} $$

Biến cố A: "Viên bi lấy ra có màu xanh"
- Số viên bi xanh là 4.
- Xác suất của biến cố A là:
$$ P(A) = \frac{\text{số viên bi xanh}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{4}{15} $$

Biến cố B: "Viên bi lấy ra không có màu đỏ"
- Số viên bi không có màu đỏ là:
$$ 4 + 6 = 10 \text{ (viên bi)} $$
- Xác suất của biến cố B là:
$$ P(B) = \frac{\text{số viên bi không có màu đỏ}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $$

Đáp số:
- Xác suất của biến cố A: $ \frac{4}{15} $
- Xác suất của biến cố B: $ \frac{2}{3} $

Bài 2.
I. TÍNH XÁC SUẤT CỦA CÁC BIẾN CỐ:

A: Số ghi trên thẻ là số chẵn

- Tập hợp các số trên các tấm thẻ: {3, 4, 5, 8, 13, 23}
- Các số chẵn trong tập hợp này là: 4, 8

Số lượng các số chẵn là 2.

Xác suất của biến cố "Số ghi trên thẻ là số chẵn" là:
$$ P(A) = \frac{\text{số lượng các số chẵn}}{\text{số lượng tổng các số}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

B: Số ghi trên thẻ là số nguyên tố

- Tập hợp các số trên các tấm thẻ: {3, 4, 5, 8, 13, 23}
- Các số nguyên tố trong tập hợp này là: 3, 5, 13, 23

Số lượng các số nguyên tố là 4.

Xác suất của biến cố "Số ghi trên thẻ là số nguyên tố" là:
$$ P(B) = \frac{\text{số lượng các số nguyên tố}}{\text{số lượng tổng các số}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Đáp số:
- Xác suất của biến cố "Số ghi trên thẻ là số chẵn": $\frac{1}{3}$
- Xác suất của biến cố "Số ghi trên thẻ là số nguyên tố": $\frac{2}{3}$

Bài 1.
Để tính độ dài cạnh DE, ta sẽ áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Bước 1: Xác định các điểm trung điểm.
- D là trung điểm của cạnh AB.
- E là trung điểm của cạnh AC.

Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa chiều dài của cạnh đó.

Bước 3: Áp dụng vào bài toán.
- DE là đường trung bình của tam giác ABC, nối hai trung điểm D và E của hai cạnh AB và AC.
- Do đó, DE song song với BC và DE = $\frac{1}{2}$BC.

Bước 4: Tính độ dài cạnh DE.
- Biết BC = 8 cm.
- Vậy DE = $\frac{1}{2}$ × 8 cm = 4 cm.

Kết luận: Độ dài cạnh DE là 4 cm.

Bài 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác và tỷ lệ đoạn thẳng.

Bước 1: Xác định các thông tin đã biết:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- AB = 6 cm.
- AC = 8 cm.
- Tia phân giác của góc BAC cắt AC tại D.

Bước 2: Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác:
Theo tính chất của tia phân giác, tia phân giác của góc BAC chia cạnh AC thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác ABC. Do đó, ta có:
$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Bước 3: Tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagoras:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} $$

Bước 4: Áp dụng tỷ lệ đoạn thẳng:
$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Bước 5: Gọi AD = 3k và DC = 5k, ta có:
$$ AD + DC = AC $$
$$ 3k + 5k = 8 $$
$$ 8k = 8 $$
$$ k = 1 $$

Bước 6: Tính độ dài AD và DC:
$$ AD = 3k = 3 \times 1 = 3 \text{ cm} $$
$$ DC = 5k = 5 \times 1 = 5 \text{ cm} $$

Vậy, độ dài AD là 3 cm và độ dài DC là 5 cm.

Bài 3:
a) Ta có DB là tia phân giác của góc ADB, nên ta có:
∠ADB = ∠BDC

Mặt khác, ta cũng biết rằng AB // CD, do đó ta có:
∠ABD = ∠BDC (hai góc so le trong)

Từ đây, ta thấy rằng tam giác ABD và tam giác BDC có:
- ∠ADB = ∠BDC
- ∠ABD = ∠BDC

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có:
Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC.

b) Vì tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC, nên ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác này là bằng nhau. Cụ thể:
$$
\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{DC}
$$

Nhân cả hai vế của tỉ lệ này với BD, ta được:
$$
AB \cdot DC = BD^2
$$

Vậy ta đã chứng minh được BD^2 = AB.DC.

Bài 4:
a) Ta có $\widehat{A}$ chung, $\widehat{ANM} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ với $\widehat{HCM}$)
Do đó $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ (g-g)
b) Ta có $\frac{IM}{IN} = \frac{AM}{AN}$ (tỉ số đường trung tuyến ứng với góc bằng nhau trong tam giác đồng dạng)
Mà $\frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC}$ (tỉ số cạnh tương ứng trong tam giác đồng dạng)
$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}$ (tỉ số cạnh bên trong tam giác có đường phân giác)
Do đó $\frac{IM}{IN} = \frac{BK}{CK}$
Suy ra IK là đường phân giác của $\angle BIC$.

I.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ: Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 3x -1. Tính f(0); f(-2); f(2); f); f(). Bài 2: Trong các hàm số y = 3x + 1; y = -x + 2; y = 3x2 -1 hàm số nào là hàm số bậc nhất? ​Hãy xác định hệ số a,...

I.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ: Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 3x -1. Tính f(0); f(-2); f(2); f); f(). Bài 2: Trong các hàm số y = 3x + 1; y = -x + 2; y = 3x2 -1 hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a,...