hcb hcd fgh Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy,,$SA=2a.$,Tính khoảng cách từ SC đến (SAB).

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách từ SC đến (SAB), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích hình chóp SABC:
   - Diện tích đáy ABC là tam giác đều cạnh a:
     $$
     S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
     $$
   - Thể tích hình chóp SABC:
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 2a = \frac{\sqrt{3}}{6} a^3
     $$

2. Tính diện tích mặt phẳng SAB:
   - Tam giác SAB có SA = 2a và AB = a.
   - Ta tính SB bằng công thức Pythagoras trong tam giác vuông SAB:
     $$
     SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
     $$
   - Diện tích tam giác SAB:
     $$
     S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2
     $$

3. Tính khoảng cách từ C đến (SAB):
   - Khoảng cách từ C đến (SAB) là chiều cao hạ từ đỉnh C xuống mặt phẳng (SAB). Gọi khoảng cách này là d.
   - Thể tích hình chóp SABC cũng có thể được tính qua diện tích đáy SAB và chiều cao hạ từ C xuống (SAB):
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times d
     $$
   - Thay vào giá trị đã biết:
     $$
     \frac{\sqrt{3}}{6} a^3 = \frac{1}{3} \times a^2 \times d
     $$
   - Giải phương trình để tìm d:
     $$
     \frac{\sqrt{3}}{6} a^3 = \frac{1}{3} a^2 d \implies d = \frac{\sqrt{3}}{2} a
     $$

4. Kết luận:
   - Khoảng cách từ SC đến (SAB) là $\frac{\sqrt{3}}{2} a$.

Đáp số: $\frac{\sqrt{3}}{2} a$.