Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sai? A. f (x)−g(x)dx= f (x)dx− g(x)dx. B. 2f (x)dx=2 f (x)dx.
     
C. f (x)+g(x)dx= f (x)dx+ g(x)dx. D. f (x)g(x)dx= f (x)dx. g(x)dx.       
Câu2:Cho F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmsố f(x) trênkhoảng K.Tìmhọnguyênhàmcủa hàm số g(x)=2f (x).
A. 2F(x)+C. B. 2xF(x)+C. C. 2xF(x). D. 2F(x).
Câu 3: Cho f (x) là hàm số liên tục trên a;b và F (x) là nguyên hàm của f (x). Khẳng định nào sau đây là đúng.
bbbb
A. f (x)dx=F(x)a =F(a)−F(b). B.f (x)dx=F(x)a =F(b)−F(a).
aa bbbb
C. f(x)dx=F(x)a =F(a)+F(b). D. f(x)dx=F(x)a =−F(a)−F(b). aa
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b] vàx[a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức bbbb2
A. S= f(x)dx. B. S= f(x)dx. C. S= f(x)dx. D. S= f(x) dx.    
aaaa
Câu 5: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, trục hoành và hai đường thẳng
x = 1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là 44144
A.V=xdx. B.V= dx. C.V=x2dx. D.V=2x2dx. 2
11x11
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 3y − z + 2 = 0 . Véctơ nào dưới đây
là một véctơ pháp tuyến của (P)
A. n3 (2;3;2). B. n1 (2;3;0). C. n=(2;−3;−1). D. n4 (2;0;3).
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3;5). Tìm tọa độ điểm A ' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox
A. A'(2;0;0). B. A'(0;3;0). C. A'(2;0;5). D. A'(0;3;5).
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là

 x = − 2 + 3 t A. y=4−t .
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t B. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu9: Trongkhônggian Oxyz,mặtcầu (S):(x+1)2 +(y−2)2 +(z+3)2 =81 cóbánkínhbằng A. 3. B. 81. C. 9. D. 6.
Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu (S):x2 + y2 +z2 −2x+4y+4z+5=0
. Tọa độ tâm và bán kính của (S ) là
A. I(2; 4; 4)và R=2. B. I(−1; 2; 2)và R=2. C.I(1;−2;−2)vàR=2. D.I(1;−2;−2)vàR= 14.
Câu 11: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(AB)=P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P (A)
B. P(A|B)=P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P (A)
Câu 12: Cho hai biến cố A và B, với P(A)=0,6, P(B)=0,7, P(AB)=0,3. Tính P(A|B).
B. 12 . A. F'(x)=−f(x),xK.
D. 17 . B. f '(x)=F(x),xK.
D. f '(x)=−F(x),xK.
f (x)= 2sinx .
B. 2sinxdx = 2cosx+C
C. 76 .
Câu 13: Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A. 73 .
C. F'(x)= f(x),xK. Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A. 2sinxdx = −2cosx+C C. 2sinxdx=sin2 x+C
D. 2sinxdx=sin2x+C Câu 15: Cho hàm số f (x)=ex +2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. f (x)dx=ex−2 +C. B. f (x)dx=ex +2x+C. C. f(x)dx=ex +C. D. f(x)dx=ex −2x+C
333
Câu 16: Cho f (x)dx = 3 và g(x)dx = 1. Khi đó  f (x)+ g (x) dx bằng:
   
222
A. 4. B. 2. C. −2 .
D. 3.
Câu 17 :Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x), y = 0, x = −1, x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

12 12
A. S=f(x)dx +f(x)dx. B. S=−f(x)dx−f(x)dx.
−11 −11 12 12
C. S=−f(x)dx+f(x)dx. D. S=f(x)dx −f(x)dx. −11 −11
Câu 18: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x − 3y + 4z −1 = 0 có một vectơ pháp tuyến
là:
A. n =(−1;2;−3). B. n =(−3;4;−1). C. n =(2;−3;4). D. n =(2;3;4). 4321
Câu 19: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : x + 1 = y − 2 = z − 1 −1 3 3
?
A. P(−1;2;1). B. Q(1;−2;−1). C. N(−1;3;2). D. P(1;2;1).
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;−1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là
 x = − 2 + 3 t A. y=4−t
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t
. B. y=−1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t .
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu21: Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 +(y−2)2 +z2 =9.Bánkínhcủa (S)bằng A. 6 . B. 18 . C. 3 . D. 9 .
Câu 22 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm I (1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là
A. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =5 B. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =29
C. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =5 D. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =25 Câu 23: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố
A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(A B)= P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P(A)
B. P(A B)= P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P(A)

Câu 24: Cho hai biến cố A,B có P(B)=0,6; P(AB)=0,2. Tính xác suất P(A B). A. 12. B. 14. C. 13. D. 23.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 4x3 −3x2 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a. f(x)dx=4x3 dx−3x2 dx
b. f(x)dx=x4 −x3 +C 2
c. (4x3 −3x2)dx=7 0
d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x3 −3x2 , trục Ox và hai đường thẳng x = −2; x = 2 là 16
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;−2;1) và mặt phẳng ():2x+3y−z+1=0 a. Mặt phẳng  có vector pháp tuyến là n = (2;3;−1)
b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ( ) là 2 14 7
c. Đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;1)và vuông góc với mp ( ):2x + 3y − z +1 = 0 có phương trình  x = 1 + 2 t
là y=−2+3t z =1−t
d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) là: (x−1)2 +(y+2)2 +(z−1)2 =14
Câu 3. Cho hàm số f (x) = 4x3 − 2x +1. a) f(x)dx=x4 −x2 +x+C.
2
b) f(x)dx=10.
0
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y = f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quay quanh trục Ox là 149  . 105
d)Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđồthịhàmsố f(x)=4x3 −2x+1 và g(x)=3x3 +1 là 2. Câu 4. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; −2; 4) và mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0.
a) Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n(2; −1; 2).

b) Điểm A thuộc mặt phẳng ().
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình là
x−5 = y+4 = z−8. 2 −1 2
d) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng () thì có bán kính là 15.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười
Câu 1:Cho hàm số f (x)= ex +1. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên sao cho F(0)=2.Tính F(1).
ln2
Câu 2: Kết quả của  (ex +1)dx = a+blnc . Khi đó P = a+b+c
0
Câu 3.Một mảnh đất chia thành hai khu vườn. Khu A có 150 cây ăn quả, khu B có 200 cây ăn
quả.Trong đó, số cây Táo ở khu A và khu B lần lượt là 50 cây và 100 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo , biết rằng cây đó ở khu B
Câu 4.Cho hai biến độc lập A,B với P(A)= 0,8; P(B)= 0,3. Tính P(A B)= ?
Câu 5:Cho hàm số bậc ba y = f (x) có f (x) = 3x2 + 2x − 6 và f (2) = 1 . Tính f (−1)
Câu 6: Tại cửa hàng điện máy THU THÊU ở xã Mường Giôn, Quỳnh Nhai, Sơn La, cuối năm tổ chức bốc thăm trúng thưởng. Trong hộp có 200 tờ phiếu bốc thăm, trong đó có 2 phiếu bốc thăm “Bạn đã trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc”. Thầy Văn được chọn lên rút thăm lần lượt hai phiếu, xác suất để cả hai phiếu đều trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc là một phân số tối
giản ba . Tính a + b . Phần IV. Tự Luận
Câu 1: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Nhà nước hỗ trợ chi phí đổ bê tông cho cây cầu là 40%, người dân đóng góp 60%. Tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, biết mỗi khối bê tông có giá 850.000đ (đường

Question

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1: Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sai? A. f (x)−g(x)dx= f (x)dx− g(x)dx. B. 2f (x)dx=2 f (x)dx.
      
C. f (x)+g(x)dx= f (x)dx+ g(x)dx. D. f (x)g(x)dx= f (x)dx. g(x)dx.       
Câu2:Cho F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmsố f(x) trênkhoảng K.Tìmhọnguyênhàmcủa hàm số g(x)=2f (x).
A. 2F(x)+C. B. 2xF(x)+C. C. 2xF(x). D. 2F(x).
Câu 3: Cho f (x) là hàm số liên tục trên a;b và F (x) là nguyên hàm của f (x). Khẳng định nào sau đây là đúng.
bbbb
A. f (x)dx=F(x)a =F(a)−F(b). B.f (x)dx=F(x)a =F(b)−F(a).
aa bbbb
C. f(x)dx=F(x)a =F(a)+F(b). D. f(x)dx=F(x)a =−F(a)−F(b). aa
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b] vàx[a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức bbbb2
A. S= f(x)dx. B. S= f(x)dx. C. S= f(x)dx. D. S= f(x) dx.    
aaaa
Câu 5: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, trục hoành và hai đường thẳng
x = 1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là 44144
A.V=xdx. B.V= dx. C.V=x2dx. D.V=2x2dx. 2
11x11
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 3y − z + 2 = 0 . Véctơ nào dưới đây
là một véctơ pháp tuyến của (P)
A. n3 (2;3;2). B. n1 (2;3;0). C. n=(2;−3;−1). D. n4 (2;0;3).
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3;5). Tìm tọa độ điểm A ' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox
A. A'(2;0;0). B. A'(0;3;0). C. A'(2;0;5). D. A'(0;3;5).
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là
     
 x = − 2 + 3 t A. y=4−t .
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t B. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu9: Trongkhônggian Oxyz,mặtcầu (S):(x+1)2 +(y−2)2 +(z+3)2 =81 cóbánkínhbằng A. 3. B. 81. C. 9. D. 6.
Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu (S):x2 + y2 +z2 −2x+4y+4z+5=0
. Tọa độ tâm và bán kính của (S ) là
A. I(2; 4; 4)và R=2. B. I(−1; 2; 2)và R=2. C.I(1;−2;−2)vàR=2. D.I(1;−2;−2)vàR= 14.
Câu 11: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(AB)=P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P (A)
B. P(A|B)=P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P (A)
   Câu 12: Cho hai biến cố A và B, với P(A)=0,6, P(B)=0,7, P(AB)=0,3. Tính P(A|B).
B. 12 . A. F'(x)=−f(x),xK.
D. 17 . B. f '(x)=F(x),xK.
D. f '(x)=−F(x),xK.
f (x)= 2sinx .
B. 2sinxdx = 2cosx+C
C. 76 .
Câu 13: Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu
A. 73 .
C. F'(x)= f(x),xK. Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A. 2sinxdx = −2cosx+C C. 2sinxdx=sin2 x+C
D. 2sinxdx=sin2x+C Câu 15: Cho hàm số f (x)=ex +2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. f (x)dx=ex−2 +C. B. f (x)dx=ex +2x+C. C. f(x)dx=ex +C. D. f(x)dx=ex −2x+C
333
Câu 16: Cho f (x)dx = 3 và g(x)dx = 1. Khi đó  f (x)+ g (x) dx bằng:
   
222
A. 4. B. 2. C. −2 .
D. 3.
Câu 17 :Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y = f (x), y = 0, x = −1, x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

12 12
A. S=f(x)dx +f(x)dx. B. S=−f(x)dx−f(x)dx.
−11 −11 12 12
C. S=−f(x)dx+f(x)dx. D. S=f(x)dx −f(x)dx. −11 −11
Câu 18: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x − 3y + 4z −1 = 0 có một vectơ pháp tuyến
là:
A. n =(−1;2;−3). B. n =(−3;4;−1). C. n =(2;−3;4). D. n =(2;3;4). 4321
Câu 19: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : x + 1 = y − 2 = z − 1 −1 3 3
?
A. P(−1;2;1). B. Q(1;−2;−1). C. N(−1;3;2). D. P(1;2;1).
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;−1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là
      x = − 2 + 3 t A. y=4−t
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t
. B. y=−1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t .
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu21: Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 +(y−2)2 +z2 =9.Bánkínhcủa (S)bằng A. 6 . B. 18 . C. 3 . D. 9 .
Câu 22 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm I (1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là
A. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =5 B. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =29
C. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =5 D. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =25 Câu 23: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố
A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(A B)= P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P(A)
B. P(A B)= P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P(A)
    
Câu 24: Cho hai biến cố A,B có P(B)=0,6; P(AB)=0,2. Tính xác suất P(A B). A. 12. B. 14. C. 13. D. 23.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 4x3 −3x2 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a. f(x)dx=4x3 dx−3x2 dx
b. f(x)dx=x4 −x3 +C 2
c. (4x3 −3x2)dx=7 0
d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x3 −3x2 , trục Ox và hai đường thẳng x = −2; x = 2 là 16
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;−2;1) và mặt phẳng ():2x+3y−z+1=0 a. Mặt phẳng  có vector pháp tuyến là n = (2;3;−1)
b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ( ) là 2 14 7
c. Đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;1)và vuông góc với mp ( ):2x + 3y − z +1 = 0 có phương trình  x = 1 + 2 t
là y=−2+3t z =1−t
d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) là: (x−1)2 +(y+2)2 +(z−1)2 =14
Câu 3. Cho hàm số f (x) = 4x3 − 2x +1. a) f(x)dx=x4 −x2 +x+C.
2
b) f(x)dx=10.
0
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y = f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quay quanh trục Ox là 149  . 105
d)Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđồthịhàmsố f(x)=4x3 −2x+1 và g(x)=3x3 +1 là 2. Câu 4. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; −2; 4) và mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0.
a) Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n(2; −1; 2).
  
b) Điểm A thuộc mặt phẳng ().
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình là
x−5 = y+4 = z−8. 2 −1 2
d) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng () thì có bán kính là 15.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười
Câu 1:Cho hàm số f (x)= ex +1. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên sao cho F(0)=2.Tính F(1).
ln2
Câu 2: Kết quả của  (ex +1)dx = a+blnc . Khi đó P = a+b+c
0
Câu 3.Một mảnh đất chia thành hai khu vườn. Khu A có 150 cây ăn quả, khu B có 200 cây ăn
quả.Trong đó, số cây Táo ở khu A và khu B lần lượt là 50 cây và 100 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo , biết rằng cây đó ở khu B
Câu 4.Cho hai biến độc lập A,B với P(A)= 0,8; P(B)= 0,3. Tính P(A B)= ?
Câu 5:Cho hàm số bậc ba y = f (x) có f (x) = 3x2 + 2x − 6 và f (2) = 1 . Tính f (−1)
Câu 6: Tại cửa hàng điện máy THU THÊU ở xã Mường Giôn, Quỳnh Nhai, Sơn La, cuối năm tổ chức bốc thăm trúng thưởng. Trong hộp có 200 tờ phiếu bốc thăm, trong đó có 2 phiếu bốc thăm “Bạn đã trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc”. Thầy Văn được chọn lên rút thăm lần lượt hai phiếu, xác suất để cả hai phiếu đều trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc là một phân số tối
giản ba . Tính a + b . Phần IV. Tự Luận
Câu 1: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Nhà nước hỗ trợ chi phí đổ bê tông cho cây cầu là 40%, người dân đóng góp 60%. Tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, biết mỗi khối bê tông có giá 850.000đ (đường

Accepted Answer

Câu 1: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\int [f(x) - g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu của các tích phân của chúng. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\int 2f(x) \, dx = 2 \int f(x) \, dx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$ Tương tự như mệnh đề A, tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của các tích phân của chúng. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\int f(x)g(x) \, dx = \int f(x) \, dx \cdot \int g(x) \, dx$ Mệnh đề này sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của các tích phân của chúng. Tính chất này không tồn tại trong lý thuyết tích phân. Do đó, mệnh đề sai là: D. $\int f(x)g(x) \, dx = \int f(x) \, dx \cdot \int g(x) \, dx$ Đáp án: D. Câu2: Để tìm nguyên hàm của hàm số $ g(x) = 2f(x) $, ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của một hàm số nhân với một hằng số. Bước 1: Xác định nguyên hàm của $ f(x) $ Theo đề bài, $ F(x) $ là nguyên hàm của $ f(x) $ trên khoảng $ K $. Điều này có nghĩa là: $$ F'(x) = f(x) $$ Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của một hàm số nhân với một hằng số Công thức nguyên hàm của một hàm số nhân với một hằng số $ a $ là: $$ \int a \cdot f(x) \, dx = a \cdot \int f(x) \, dx + C $$ Trong trường hợp này, $ a = 2 $: $$ \int 2f(x) \, dx = 2 \cdot \int f(x) \, dx + C $$ Bước 3: Thay nguyên hàm của $ f(x) $ vào Do $ F(x) $ là nguyên hàm của $ f(x) $, ta có: $$ \int f(x) \, dx = F(x) + C $$ Vậy: $$ \int 2f(x) \, dx = 2 \cdot (F(x) + C) = 2F(x) + C $$ Như vậy, nguyên hàm của hàm số $ g(x) = 2f(x) $ là: $$ 2F(x) + C $$ Đáp án đúng là: A. 2F(x) + C. Câu 3: Theo Định lý Newton-Leibniz, nếu $ f(x) $ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $ F(x) $ là một nguyên hàm của $ f(x) $, thì ta có: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(a) - F(b)$ - Đây là sai vì theo Định lý Newton-Leibniz, tích phân từ $a$ đến $b$ phải là $F(b) - F(a)$. B. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ - Đây là đúng vì theo Định lý Newton-Leibniz, tích phân từ $a$ đến $b$ đúng là $F(b) - F(a)$. C. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(a) + F(b)$ - Đây là sai vì theo Định lý Newton-Leibniz, tích phân từ $a$ đến $b$ phải là $F(b) - F(a)$, không phải là tổng của hai giá trị $F(a)$ và $F(b)$. D. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = -F(a) - F(b)$ - Đây là sai vì theo Định lý Newton-Leibniz, tích phân từ $a$ đến $b$ phải là $F(b) - F(a)$, không phải là tổng âm của hai giá trị $F(a)$ và $F(b)$. Vậy khẳng định đúng là: B. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Câu 4: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục Ox và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $, ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích $ S $ được tính bằng: $$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$ Trong các lựa chọn đã cho, công thức đúng là: B. $ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng nếu $ f(x) $ có thể nhận giá trị âm trong khoảng $[a, b]$, thì ta cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối của $ f(x) $: $$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$ Nhưng trong trường hợp này, vì các lựa chọn không có dấu giá trị tuyệt đối, nên chúng ta sẽ chọn công thức tích phân đơn giản nhất: $$ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ Vậy đáp án đúng là: B. $ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ Câu 5: Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox, ta áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: $$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$ Trong đó: - $ f(x) = x $ - Giới hạn tích phân từ $ x = 1 $ đến $ x = 4 $ Do đó, thể tích V sẽ là: $$ V = \pi \int_{1}^{4} x^2 \, dx $$ Vậy đáp án đúng là: C. $ V = \pi \int_{1}^{4} x^2 \, dx $ Câu 6: Phương trình mặt phẳng (P) được cho là: $2x - 3y - z + 2 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng này. Do đó, vectơ pháp tuyến của (P) sẽ có dạng $(2; -3; -1)$. Ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: - A. $n_3 (2; 3; 2)$ không đúng vì các thành phần không khớp với hệ số của phương trình. - B. $n_1 (2; 3; 0)$ không đúng vì các thành phần không khớp với hệ số của phương trình. - C. $n (2; -3; -1)$ đúng vì các thành phần khớp với hệ số của phương trình. - D. $n_4 (2; 0; 3)$ không đúng vì các thành phần không khớp với hệ số của phương trình. Vậy, vectơ pháp tuyến của (P) là $n = (2; -3; -1)$. Đáp án đúng là: C. $n = (2; -3; -1)$. Câu 7: Để tìm tọa độ điểm $ A' $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ A(2;3;5) $ lên trục $ Ox $, ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về hình chiếu vuông góc lên trục $ Ox $: - Khi một điểm được chiếu vuông góc lên trục $ Ox $, tọa độ $ y $ và $ z $ của điểm đó sẽ trở thành 0, còn tọa độ $ x $ giữ nguyên. 2. Áp dụng vào điểm $ A(2;3;5) $: - Tọa độ $ x $ của điểm $ A $ là 2. - Tọa độ $ y $ và $ z $ của điểm $ A $ sẽ trở thành 0 khi chiếu lên trục $ Ox $. Do đó, tọa độ của điểm $ A' $ là $ (2;0;0) $. Vậy đáp án đúng là: A. $ A'(2;0;0) $. Câu 8: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;1;4)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-2;4;5)$ được viết dưới dạng: $$ \begin{cases} x = 3 - 2t \ y = 1 + 4t \ z = 4 + 5t \end{cases} $$ Do đó, phương án đúng là: C. $\begin{cases} x = 3 - 2t \ y = 1 + 4t \ z = 4 + 5t \end{cases}$ Đáp án: C. Câu9: Mặt cầu (S) có phương trình: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 81$ Phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $(-1, 2, -3)$ - Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{81} = 9$ Vậy đáp án đúng là: C. 9 Đáp số: C. 9 Câu 10: Để tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại: $$ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 4z + 5 = 0 $$ Bước 2: Hoàn thành bình phương cho mỗi biến. - Với $x$: $$ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 $$ - Với $y$: $$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$ - Với $z$: $$ z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4 $$ Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu: $$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 2)^2 - 4 + 5 = 0 $$ Bước 4: Gom các hằng số về một vế: $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 - 4 = 0 $$ $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 4 $$ Bước 5: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$: Từ đây, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu là $I(1, -2, -2)$ và bán kính $R = 2$. Vậy đáp án đúng là: C. $I(1, -2, -2)$ và $R = 2$. Câu 11: Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Trong đó: - $ P(A \cap B) $ là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra. - $ P(B) $ là xác suất của biến cố B. Do đó, đáp án đúng là: B. $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ Lập luận từng bước: 1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được ký hiệu là $ P(A|B) $. 2. Công thức để tính $ P(A|B) $ là $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $. Vậy đáp án đúng là B. Câu 12: Để tính xác suất điều kiện $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Trong đó: - $P(A \cap B)$ là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc. - $P(B)$ là xác suất của biến cố B. Theo đề bài, ta có: - $P(A) = 0,6$ - $P(B) = 0,7$ - $P(A \cap B) = 0,3$ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7} $$ Vậy xác suất điều kiện $P(A|B)$ là $\frac{3}{7}$. Đáp số: $P(A|B) = \frac{3}{7}$. Câu 13: Hàm số $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $ nếu: C. $ F'(x) = f(x), \forall x \in K $. Lập luận từng bước: - Nguyên hàm của một hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $ là một hàm số $ F(x) $ sao cho đạo hàm của nó bằng chính hàm số $ f(x) $ trên khoảng đó. - Điều này có nghĩa là $ F'(x) = f(x) $ cho mọi $ x $ thuộc khoảng $ K $. Do đó, đáp án đúng là C. $ F'(x) = f(x), \forall x \in K $. Câu 14: Để tìm nguyên hàm của hàm số $ \int 2\sin x \, dx $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $ \sin x $. Nguyên hàm của $ \sin x $ là $ -\cos x + C $. Do đó, nguyên hàm của $ 2\sin x $ sẽ là: $$ \int 2\sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C $$ Bước 2: Kiểm tra lại các đáp án đã cho. A. $ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C $ C. $ \int 2\sin x \, dx = \sin 2x + C $ D. $ \int 2\sin x \, dx = \sin 2x + C $ Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng. Vậy, nguyên hàm của hàm số $ \int 2\sin x \, dx $ là: $$ \boxed{-2\cos x + C} $$ Câu 15: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x + 2 $. Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của $ e^x $ là $ e^x $. - Nguyên hàm của hằng số 2 là $ 2x $. Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau và thêm hằng số $ C $: $$ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = e^x + 2x + C $$ Do đó, khẳng định đúng là: B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$ Đáp án: B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$ Câu 16: Để tính tích phân của tổng hai hàm số $ f(x) + g(x) $, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Cụ thể, nếu ta biết rằng: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = 3 $$ và $$ \int_{a}^{b} g(x) \, dx = 1, $$ thì tích phân của tổng hai hàm số sẽ là: $$ \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx. $$ Áp dụng vào bài toán này, ta có: $$ \int_{2}^{2} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{2} g(x) \, dx. $$ Do đó: $$ \int_{2}^{2} [f(x) + g(x)] \, dx = 3 + 1 = 4. $$ Vậy đáp án đúng là: A. 4. Câu 17 Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = f(x) $, $ y = 0 $, $ x = -1 $, và $ x = 2 $, ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào các đoạn trên trục hoành mà hàm số $ f(x) $ có dấu khác nhau. Trong hình vẽ, ta thấy rằng: - Từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $, hàm số $ f(x) $ nằm dưới trục hoành, tức là $ f(x) < 0 $. - Từ $ x = 1 $ đến $ x = 2 $, hàm số $ f(x) $ nằm trên trục hoành, tức là $ f(x) > 0 $. Diện tích hình phẳng từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ sẽ là: $$ S_1 = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx $$ (vì $ f(x) < 0 $, tích phân sẽ cho kết quả âm, do đó ta thêm dấu trừ để tính diện tích dương). Diện tích hình phẳng từ $ x = 1 $ đến $ x = 2 $ sẽ là: $$ S_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$ (vì $ f(x) > 0 $, tích phân sẽ cho kết quả dương). Tổng diện tích $ S $ sẽ là tổng của hai diện tích này: $$ S = S_1 + S_2 = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$ Do đó, mệnh đề đúng là: $$ C. S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$ Câu 18: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) được cho là: $$ 2x - 3y + 4z - 1 = 0 $$ Phương trình này có dạng tổng quát của mặt phẳng là: $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ Trong đó, $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 4 $, và $ D = -1 $. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $ x $, $ y $, và $ z $ trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $$ \mathbf{n} = (A, B, C) = (2, -3, 4) $$ Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $$ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $$ Do đó, đáp án đúng là: C. $ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $ Đáp án: C. $ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $ Câu 19: Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đường thẳng $d$ hay không, ta cần thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình của đường thẳng $d$ là: $$ x + 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} $$ Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm $P(-1; 2; 1)$: - Thay $x = -1$, $y = 2$, $z = 1$ vào phương trình: $$ -1 + 1 = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{1 - 1}{3} $$ $$ 0 = 0 = 0 $$ - Kết quả đúng, vậy điểm $P(-1; 2; 1)$ thuộc đường thẳng $d$. 2. Kiểm tra điểm $Q(1; -2; -1)$: - Thay $x = 1$, $y = -2$, $z = -1$ vào phương trình: $$ 1 + 1 = \frac{-2 - 2}{-1} = \frac{-1 - 1}{3} $$ $$ 2 = 4 = -\frac{2}{3} $$ - Kết quả sai, vậy điểm $Q(1; -2; -1)$ không thuộc đường thẳng $d$. 3. Kiểm tra điểm $N(-1; 3; 2)$: - Thay $x = -1$, $y = 3$, $z = 2$ vào phương trình: $$ -1 + 1 = \frac{3 - 2}{-1} = \frac{2 - 1}{3} $$ $$ 0 = -1 = \frac{1}{3} $$ - Kết quả sai, vậy điểm $N(-1; 3; 2)$ không thuộc đường thẳng $d$. 4. Kiểm tra điểm $P(1; 2; 1)$: - Thay $x = 1$, $y = 2$, $z = 1$ vào phương trình: $$ 1 + 1 = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{1 - 1}{3} $$ $$ 2 = 0 = 0 $$ - Kết quả sai, vậy điểm $P(1; 2; 1)$ không thuộc đường thẳng $d$. Vậy điểm thuộc đường thẳng $d$ là: $$ \boxed{P(-1; 2; 1)} $$ Câu 20: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3; -1; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-2; 4; 5)$ được viết dưới dạng: $$ \begin{cases} x = 3 - 2t \ y = -1 + 4t \ z = 4 + 5t \end{cases} $$ Do đó, phương án đúng là: D. $$ \begin{cases} x = 3 - 2t \ y = -1 + 4t \ z = 4 + 5t \end{cases} $$ Câu21: Mặt cầu (S) có phương trình: $ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 9 $. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$ trong đó tâm của mặt cầu là $ (a, b, c) $ và bán kính là $ R $. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: $$ a = 0, \quad b = 2, \quad c = 0 $$ và $$ R^2 = 9 $$ Từ đó suy ra bán kính $ R $ của mặt cầu là: $$ R = \sqrt{9} = 3 $$ Vậy đáp án đúng là: C. 3 Câu 22 Để tìm phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính bán kính của mặt cầu. - Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A. - Ta tính khoảng cách giữa hai điểm I (1;1;1) và A (1;2;3): $$ R = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} $$ Bước 2: Viết phương trình mặt cầu. - Phương trình mặt cầu có tâm I (1;1;1) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là: $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $$ $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5 $$ Vậy phương trình mặt cầu là: $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5 $$ Đáp án đúng là: C. $(x−1)^2+(y−1)^2+(z−1)^2=5$ Câu 23: Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Trong đó: - $ P(A|B) $ là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra. - $ P(A \cap B) $ là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra. - $ P(B) $ là xác suất của biến cố B. Do đó, đáp án đúng là: B. $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ Lập luận từng bước: 1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được ký hiệu là $ P(A|B) $. 2. Công thức để tính $ P(A|B) $ là $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $. Vậy đáp án đúng là B. Câu 24: Để tính xác suất $ P(A|B) $, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Trong đó: - $ P(B) = 0,6 $ - $ P(A \cap B) = 0,2 $ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ P(A|B) = \frac{0,2}{0,6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Vậy xác suất $ P(A|B) $ là $ \frac{1}{3} $. Đáp án đúng là: C. $ \frac{1}{3} $ Câu 1. a. Đúng vì theo tính chất của nguyên hàm, ta có: $$ \int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 3x^2) \, dx = \int 4x^3 \, dx - \int 3x^2 \, dx $$ b. Sai vì: $$ \int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 3x^2) \, dx = \int 4x^3 \, dx - \int 3x^2 \, dx = x^4 - x^3 + C $$ Phần này đúng, nhưng trong câu hỏi đã ghi là $ x^4 - x^3 + C $, nên không sai. c. Sai vì: $$ \int_{0}^{7} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{0}^{7} = (7^4 - 7^3) - (0^4 - 0^3) = 2401 - 343 = 2058 $$ d. Sai vì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = 4x^3 - 3x^2 $, trục Ox và hai đường thẳng $ x = -2 $ và $ x = 2 $ là: $$ A = \left| \int_{-2}^{0} (4x^3 - 3x^2) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} (4x^3 - 3x^2) \, dx \right| $$ Tính từng phần: $$ \int_{-2}^{0} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{-2}^{0} = (0^4 - 0^3) - ((-2)^4 - (-2)^3) = 0 - (16 + 8) = -24 $$ $$ \int_{0}^{2} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{0}^{2} = (2^4 - 2^3) - (0^4 - 0^3) = 16 - 8 = 8 $$ Diện tích tổng cộng: $$ A = |-24| + |8| = 24 + 8 = 32 $$ Vậy đáp án là: a. Đúng b. Đúng c. Sai d. Sai Câu 2. a. Mặt phẳng $\alpha$ có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (2;3;-1)$ Đúng vì vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x + 3y - z + 1 = 0$ là $(2;3;-1)$. b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ($\alpha$) là $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ Ta tính khoảng cách từ điểm A(1; -2; 1) đến mặt phẳng $\alpha$: $2x + 3y - z + 1 = 0$ bằng công thức: $$ d = \frac{|2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 6 - 1 + 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{7} $$ Đúng. c. Đường thẳng đi qua điểm A(1; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$: $2x + 3y - z + 1 = 0$ có phương trình: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \ y = -2 + 3t \ z = 1 - t \end{array} \right. $$ Đúng vì đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (2;3;-1)$, nên phương trình tham số của đường thẳng là: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \ y = -2 + 3t \ z = 1 - t \end{array} \right. $$ d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $\alpha$ là: $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 14$ Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm A đến mặt phẳng $\alpha$, đã tính ở phần b là $\frac{2\sqrt{14}}{7}$. Vì vậy, phương trình mặt cầu là: $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = \left(\frac{2\sqrt{14}}{7}\right)^2 = \frac{4 \cdot 14}{49} = \frac{56}{49} = \frac{8}{7} $$ Suy ra phương trình mặt cầu là: $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = \frac{8}{7} $$ Điều này không đúng vì bán kính đã tính sai. Kết luận: a. Đúng b. Đúng c. Đúng d. Sai Câu 3. a) Ta có: $$ \int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx = x^4 - x^2 + x + C $$ Đáp án đúng là: a) $\int f(x) \, dx = x^4 - x^2 + x + C$ b) Ta tính: $$ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} (4x^3 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^4 - x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^4 - 2^2 + 2) - (0^4 - 0^2 + 0) = 16 - 4 + 2 = 14 $$ Đáp án đúng là: b) $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 14$ c) Ta tính thể tích khối tròn xoay: $$ V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x + 1)^2 \, dx $$ Ta mở rộng bình phương: $$ (4x^3 - 2x + 1)^2 = 16x^6 - 16x^4 + 8x^3 + 4x^2 - 4x + 1 $$ Do đó: $$ V = \pi \int_{0}^{1} (16x^6 - 16x^4 + 8x^3 + 4x^2 - 4x + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{16x^7}{7} - \frac{16x^5}{5} + 2x^4 + \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{0}^{1} $$ Tính giá trị tại các cận: $$ V = \pi \left( \frac{16}{7} - \frac{16}{5} + 2 + \frac{4}{3} - 2 + 1 \right) = \pi \left( \frac{16}{7} - \frac{16}{5} + \frac{4}{3} + 1 \right) $$ Quy đồng mẫu số: $$ V = \pi \left( \frac{240}{105} - \frac{336}{105} + \frac{140}{105} + \frac{105}{105} \right) = \pi \left( \frac{240 - 336 + 140 + 105}{105} \right) = \pi \left( \frac{149}{105} \right) = \frac{149\pi}{105} $$ Đáp án đúng là: c) Thể tích khối tròn xoay là $\frac{149\pi}{105}$ d) Ta tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$: $$ A = \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{0}^{1} |(4x^3 - 2x + 1) - (3x^3 + 1)| \, dx = \int_{0}^{1} |x^3 - 2x| \, dx $$ Ta thấy $x^3 - 2x < 0$ trên khoảng $(0, 1)$, do đó: $$ A = \int_{0}^{1} -(x^3 - 2x) \, dx = \int_{0}^{1} (2x - x^3) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{4}) - (0 - 0) = \frac{3}{4} $$ Đáp án đúng là: d) Diện tích hình phẳng là $\frac{3}{4}$ Đáp án cuối cùng: a) $\int f(x) \, dx = x^4 - x^2 + x + C$ b) $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 14$ c) Thể tích khối tròn xoay là $\frac{149\pi}{105}$ d) Diện tích hình phẳng là $\frac{3}{4}$ Câu 4. a) Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $2x - y + 2z + 3 = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (2, -1, 2)$. b) Để kiểm tra điểm $A(1, -2, 4)$ có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng: $$ 2(1) - (-2) + 2(4) + 3 = 2 + 2 + 8 + 3 = 15 \neq 0 $$ Vậy điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. c) Đường thẳng đi qua điểm $A(1, -2, 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$, tức là $\vec{n} = (2, -1, 2)$. Phương trình đường thẳng này là: $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 4}{2} $$ d) Mặt cầu tâm $A(1, -2, 4)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha)$ thì bán kính của mặt cầu chính là khoảng cách từ tâm $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$. Ta tính khoảng cách này bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: $$ d = \frac{|2(1) - (-2) + 2(4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 8 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{15}{3} = 5 $$ Vậy bán kính của mặt cầu là 5. Đáp số: a) $\vec{n} = (2, -1, 2)$ b) Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ c) Phương trình đường thẳng: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 4}{2}$ d) Bán kính của mặt cầu: 5 Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x + 1 $, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $. Nguyên hàm của $ e^x $ là $ e^x $ và nguyên hàm của 1 là $ x $. Do đó, nguyên hàm của $ f(x) $ là: $$ F(x) = e^x + x + C $$ trong đó $ C $ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa vào điều kiện $ F(0) = 2 $. Thay $ x = 0 $ vào $ F(x) $: $$ F(0) = e^0 + 0 + C = 1 + C $$ Theo điều kiện $ F(0) = 2 $, ta có: $$ 1 + C = 2 $$ $$ C = 1 $$ Bước 3: Viết lại nguyên hàm $ F(x) $ với hằng số $ C $ đã xác định. $$ F(x) = e^x + x + 1 $$ Bước 4: Tính $ F(1) $. Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $: $$ F(1) = e^1 + 1 + 1 = e + 2 $$ Vậy, giá trị của $ F(1) $ là: $$ F(1) = e + 2 $$ Đáp số: $ F(1) = e + 2 $ Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính nguyên hàm của $ e^x + 1 $: $$ \int (e^x + 1) \, dx = \int e^x \, dx + \int 1 \, dx = e^x + x + C $$ 2. Áp dụng cận trên và cận dưới của tích phân từ 0 đến 1: $$ \left[ e^x + x \right]_0^1 = (e^1 + 1) - (e^0 + 0) = (e + 1) - (1 + 0) = e + 1 - 1 = e $$ 3. So sánh kết quả với dạng $ a + b \ln c $: $$ e = a + b \ln c $$ Ở đây, ta nhận thấy rằng $ e $ có thể được viết dưới dạng $ e + 0 \ln 1 $. Do đó, ta có: $$ a = e, \quad b = 0, \quad c = 1 $$ 4. Tính $ P = a + b + c $: $$ P = e + 0 + 1 = e + 1 $$ Vậy, kết quả cuối cùng là: $$ P = e + 1 $$ Đáp số: $ P = e + 1 $ Câu 3. Để tính xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cây ở khu B: - Số cây ở khu B là 200 cây. 2. Tìm số cây Táo ở khu B: - Số cây Táo ở khu B là 100 cây. 3. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B: - Xác suất được tính bằng cách lấy số cây Táo ở khu B chia cho tổng số cây ở khu B. - Xác suất = $\frac{\text{số cây Táo ở khu B}}{\text{tổng số cây ở khu B}}$ = $\frac{100}{200}$ = $\frac{1}{2}$. Vậy xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B là $\frac{1}{2}$. Câu 4. Để tính xác suất của sự kiện $A \cap B$ (sự kiện cả $A$ và $B$ xảy ra cùng lúc), ta cần biết thêm thông tin về mối liên hệ giữa hai sự kiện $A$ và $B$. Cụ thể, ta cần biết xác suất của $B$ khi $A$ đã xảy ra, hoặc xác suất của $A$ khi $B$ đã xảy ra, hoặc xác suất của cả hai sự kiện cùng xảy ra. Trong trường hợp này, giả sử $A$ và $B$ là hai sự kiện độc lập, nghĩa là việc xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến việc xảy ra của $B$ và ngược lại. Khi đó, ta có công thức: $$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ P(A \cap B) = 0,8 \times 0,3 = 0,24 $$ Vậy xác suất của sự kiện $A \cap B$ là 0,24. Đáp số: $P(A \cap B) = 0,24$ Câu 5: Để tính giá trị của hàm số $ f(x) $ tại điểm $ x = -1 $, chúng ta cần biết biểu thức của hàm số $ f(x) $. Biết rằng đạo hàm của $ f(x) $ là $ f'(x) = 3x^2 + 2x - 6 $, chúng ta sẽ tìm $ f(x) $ bằng cách tích phân $ f'(x) $. Bước 1: Tích phân $ f'(x) $ để tìm $ f(x) $: $$ f(x) = \int (3x^2 + 2x - 6) \, dx $$ $$ f(x) = x^3 + x^2 - 6x + C $$ Bước 2: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ f(2) = 1 $: $$ f(2) = 2^3 + 2^2 - 6 \cdot 2 + C = 1 $$ $$ 8 + 4 - 12 + C = 1 $$ $$ 0 + C = 1 $$ $$ C = 1 $$ Vậy hàm số $ f(x) $ là: $$ f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1 $$ Bước 3: Tính giá trị của $ f(x) $ tại điểm $ x = -1 $: $$ f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 6(-1) + 1 $$ $$ f(-1) = -1 + 1 + 6 + 1 $$ $$ f(-1) = 7 $$ Đáp số: $ f(-1) = 7 $ Câu 6: Xác suất để lần đầu rút trúng thưởng là $\frac{2}{200} = \frac{1}{100}$ Sau lần đầu rút trúng thưởng, trong hộp còn lại 199 phiếu, trong đó có 1 phiếu trúng thưởng. Xác suất để lần thứ hai rút trúng thưởng là $\frac{1}{199}$ Xác suất để cả hai lần đều trúng thưởng là: $\frac{1}{100} \times \frac{1}{199} = \frac{1}{19900}$ Phân số tối giản này có dạng $\frac{a}{b}$, trong đó $a = 1$ và $b = 19900$. Vậy $a + b = 1 + 19900 = 19901$ Đáp số: 19901 Câu 1: Để tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của cây cầu: - Cây cầu có dạng hình trụ, do đó thể tích của nó được tính theo công thức: $$ V = \pi r^2 h $$ - Trong đó, $ r $ là bán kính đáy của hình trụ và $ h $ là chiều cao (hoặc chiều dài) của hình trụ. 2. Áp dụng dữ liệu vào công thức: - Giả sử bán kính đáy của cây cầu là $ r = 2 $ mét và chiều dài của cây cầu là $ h = 10 $ mét. - Thể tích của cây cầu là: $$ V = \pi \times 2^2 \times 10 = 40\pi \text{ mét khối} $$ 3. Tính tổng chi phí đổ bê tông: - Mỗi mét khối bê tông có giá 850.000 đồng. - Tổng chi phí đổ bê tông là: $$ \text{Tổng chi phí} = 40\pi \times 850.000 = 34.000.000\pi \text{ đồng} $$ 4. Tính số tiền xã X phải đóng góp: - Người dân đóng góp 60% tổng chi phí. - Số tiền xã X phải đóng góp là: $$ \text{Số tiền xã X phải đóng góp} = 34.000.000\pi \times 0.6 = 20.400.000\pi \text{ đồng} $$ 5. Kết luận: - Số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu là: $$ 20.400.000\pi \text{ đồng} $$ Đáp số: 20.400.000π đồng

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Câu 1: Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sai? A. f (x)−g(x)dx= f (x)dx− g(x)dx. B. 2f (x)dx=2 f (x)dx.    ...