Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A. 2sinxdx = −2cosx+C C. 2sinxdx=sin2 x+C
D. 2sinxdx=sin2x+C Câu 15: Cho hàm số f (x)=ex +2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. f (x)dx=ex−2 +C. B. f (x)dx=ex +2x+C. C. f(x)dx=ex +C. D. f(x)dx=ex −2x+C
333
Câu 16: Cho f (x)dx = 3 và g(x)dx = 1. Khi đó  f (x)+ g (x) dx bằng:
   
222
A. 4. B. 2. C. −2 .
D. 3.
Câu 17 :Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x), y = 0, x = −1, x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

12 12
A. S=f(x)dx +f(x)dx. B. S=−f(x)dx−f(x)dx.
−11 −11 12 12
C. S=−f(x)dx+f(x)dx. D. S=f(x)dx −f(x)dx. −11 −11
Câu 18: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x − 3y + 4z −1 = 0 có một vectơ pháp tuyến
là:
A. n =(−1;2;−3). B. n =(−3;4;−1). C. n =(2;−3;4). D. n =(2;3;4). 4321
Câu 19: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : x + 1 = y − 2 = z − 1 −1 3 3
?
A. P(−1;2;1). B. Q(1;−2;−1). C. N(−1;3;2). D. P(1;2;1).
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;−1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là
 x = − 2 + 3 t A. y=4−t
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t
. B. y=−1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t .
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu21: Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 +(y−2)2 +z2 =9.Bánkínhcủa (S)bằng A. 6 . B. 18 . C. 3 . D. 9 .
Câu 22 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm I (1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là
A. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =5 B. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =29
C. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =5 D. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =25 Câu 23: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố
A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(A B)= P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P(A)
B. P(A B)= P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P(A)

Câu 24: Cho hai biến cố A,B có P(B)=0,6; P(AB)=0,2. Tính xác suất P(A B). A. 12. B. 14. C. 13. D. 23.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 4x3 −3x2 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a. f(x)dx=4x3 dx−3x2 dx
b. f(x)dx=x4 −x3 +C 2
c. (4x3 −3x2)dx=7 0
d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x3 −3x2 , trục Ox và hai đường thẳng x = −2; x = 2 là 16
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;−2;1) và mặt phẳng ():2x+3y−z+1=0 a. Mặt phẳng  có vector pháp tuyến là n = (2;3;−1)
b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ( ) là 2 14 7
c. Đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;1)và vuông góc với mp ( ):2x + 3y − z +1 = 0 có phương trình  x = 1 + 2 t
là y=−2+3t z =1−t
d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) là: (x−1)2 +(y+2)2 +(z−1)2 =14
Câu 3. Cho hàm số f (x) = 4x3 − 2x +1. a) f(x)dx=x4 −x2 +x+C.
2
b) f(x)dx=10.
0
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y = f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quay quanh trục Ox là 149  . 105
d)Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđồthịhàmsố f(x)=4x3 −2x+1 và g(x)=3x3 +1 là 2. Câu 4. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; −2; 4) và mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0.
a) Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n(2; −1; 2).

b) Điểm A thuộc mặt phẳng ().
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình là
x−5 = y+4 = z−8. 2 −1 2
d) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng () thì có bán kính là 15.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười
Câu 1:Cho hàm số f (x)= ex +1. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên sao cho F(0)=2.Tính F(1).
ln2
Câu 2: Kết quả của  (ex +1)dx = a+blnc . Khi đó P = a+b+c
0
Câu 3.Một mảnh đất chia thành hai khu vườn. Khu A có 150 cây ăn quả, khu B có 200 cây ăn
quả.Trong đó, số cây Táo ở khu A và khu B lần lượt là 50 cây và 100 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo , biết rằng cây đó ở khu B
Câu 4.Cho hai biến độc lập A,B với P(A)= 0,8; P(B)= 0,3. Tính P(A B)= ?
Câu 5:Cho hàm số bậc ba y = f (x) có f (x) = 3x2 + 2x − 6 và f (2) = 1 . Tính f (−1)
Câu 6: Tại cửa hàng điện máy THU THÊU ở xã Mường Giôn, Quỳnh Nhai, Sơn La, cuối năm tổ chức bốc thăm trúng thưởng. Trong hộp có 200 tờ phiếu bốc thăm, trong đó có 2 phiếu bốc thăm “Bạn đã trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc”. Thầy Văn được chọn lên rút thăm lần lượt hai phiếu, xác suất để cả hai phiếu đều trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc là một phân số tối
giản ba . Tính a + b . Phần IV. Tự Luận
Câu 1: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Nhà nước hỗ trợ chi phí đổ bê tông cho cây cầu là 40%, người dân đóng góp 60%. Tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, biết mỗi khối bê tông có giá 850.000đ (đường

Question

Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A. 2sinxdx = −2cosx+C C. 2sinxdx=sin2 x+C
D. 2sinxdx=sin2x+C Câu 15: Cho hàm số f (x)=ex +2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. f (x)dx=ex−2 +C. B. f (x)dx=ex +2x+C. C. f(x)dx=ex +C. D. f(x)dx=ex −2x+C
333
Câu 16: Cho f (x)dx = 3 và g(x)dx = 1. Khi đó  f (x)+ g (x) dx bằng:
   
222
A. 4. B. 2. C. −2 .
D. 3.
Câu 17 :Cho hàm số f (x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y = f (x), y = 0, x = −1, x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

12 12
A. S=f(x)dx +f(x)dx. B. S=−f(x)dx−f(x)dx.
−11 −11 12 12
C. S=−f(x)dx+f(x)dx. D. S=f(x)dx −f(x)dx. −11 −11
Câu 18: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P): 2x − 3y + 4z −1 = 0 có một vectơ pháp tuyến
là:
A. n =(−1;2;−3). B. n =(−3;4;−1). C. n =(2;−3;4). D. n =(2;3;4). 4321
Câu 19: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : x + 1 = y − 2 = z − 1 −1 3 3
?
A. P(−1;2;1). B. Q(1;−2;−1). C. N(−1;3;2). D. P(1;2;1).
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (3;−1;4) và có một vectơ chỉ phương u = (−2;4;5). Phương trình của d là
      x = − 2 + 3 t A. y=4−t
 z = 5 + 4t
 x = 3 + 2 t
. B. y=−1+4t.
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t C. y=1+4t .
 z = 4 + 5t
 x = 3 − 2 t D. y=−1+4t.  z = 4 + 5t
Câu21: Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 +(y−2)2 +z2 =9.Bánkínhcủa (S)bằng A. 6 . B. 18 . C. 3 . D. 9 .
Câu 22 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm I (1;1;1) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là
A. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =5 B. (x+1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 =29
C. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =5 D. (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 =25 Câu 23: Cho A,B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) 0, xác suất của biến cố
A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây
A. P(A B)= P(A). P(B)
C. P(A B)= P(B).P(B A). P(A)
B. P(A B)= P(AB) P(B)
D. P(A B)= P(B). P(A)
    
Câu 24: Cho hai biến cố A,B có P(B)=0,6; P(AB)=0,2. Tính xác suất P(A B). A. 12. B. 14. C. 13. D. 23.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) = 4x3 −3x2 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a. f(x)dx=4x3 dx−3x2 dx
b. f(x)dx=x4 −x3 +C 2
c. (4x3 −3x2)dx=7 0
d. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x3 −3x2 , trục Ox và hai đường thẳng x = −2; x = 2 là 16
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;−2;1) và mặt phẳng ():2x+3y−z+1=0 a. Mặt phẳng  có vector pháp tuyến là n = (2;3;−1)
b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ( ) là 2 14 7
c. Đường thẳng đi qua điểm A(1;-2;1)và vuông góc với mp ( ):2x + 3y − z +1 = 0 có phương trình  x = 1 + 2 t
là y=−2+3t z =1−t
d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) là: (x−1)2 +(y+2)2 +(z−1)2 =14
Câu 3. Cho hàm số f (x) = 4x3 − 2x +1. a) f(x)dx=x4 −x2 +x+C.
2
b) f(x)dx=10.
0
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y = f (x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quay quanh trục Ox là 149  . 105
d)Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđồthịhàmsố f(x)=4x3 −2x+1 và g(x)=3x3 +1 là 2. Câu 4. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; −2; 4) và mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0.
a) Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n(2; −1; 2).
  
b) Điểm A thuộc mặt phẳng ().
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình là
x−5 = y+4 = z−8. 2 −1 2
d) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng () thì có bán kính là 15.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười
Câu 1:Cho hàm số f (x)= ex +1. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên sao cho F(0)=2.Tính F(1).
ln2
Câu 2: Kết quả của  (ex +1)dx = a+blnc . Khi đó P = a+b+c
0
Câu 3.Một mảnh đất chia thành hai khu vườn. Khu A có 150 cây ăn quả, khu B có 200 cây ăn
quả.Trong đó, số cây Táo ở khu A và khu B lần lượt là 50 cây và 100 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo , biết rằng cây đó ở khu B
Câu 4.Cho hai biến độc lập A,B với P(A)= 0,8; P(B)= 0,3. Tính P(A B)= ?
Câu 5:Cho hàm số bậc ba y = f (x) có f (x) = 3x2 + 2x − 6 và f (2) = 1 . Tính f (−1)
Câu 6: Tại cửa hàng điện máy THU THÊU ở xã Mường Giôn, Quỳnh Nhai, Sơn La, cuối năm tổ chức bốc thăm trúng thưởng. Trong hộp có 200 tờ phiếu bốc thăm, trong đó có 2 phiếu bốc thăm “Bạn đã trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc”. Thầy Văn được chọn lên rút thăm lần lượt hai phiếu, xác suất để cả hai phiếu đều trúng thưởng xe máy Wave Alpha 110cc là một phân số tối
giản ba . Tính a + b . Phần IV. Tự Luận
Câu 1: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Nhà nước hỗ trợ chi phí đổ bê tông cho cây cầu là 40%, người dân đóng góp 60%. Tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, biết mỗi khối bê tông có giá 850.000đ (đường

Accepted Answer

Câu 14:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ \int 2\sin x \, dx $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $ \sin x $.

Nguyên hàm của $ \sin x $ là $ -\cos x + C $. Do đó, nguyên hàm của $ 2\sin x $ sẽ là:
$$ \int 2\sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = 2(-\cos x) + C = -2\cos x + C $$

Bước 2: Kiểm tra lại các đáp án đã cho.

A. $ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C $
C. $ \int 2\sin x \, dx = \sin 2x + C $
D. $ \int 2\sin x \, dx = \sin 2x + C $

Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $ \int 2\sin x \, dx $ là:
$$ \boxed{-2\cos x + C} $$

Câu 15:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x + 2 $.

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số.
- Nguyên hàm của $ e^x $ là $ e^x $.
- Nguyên hàm của hằng số 2 là $ 2x $.

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau và thêm hằng số $ C $:
$$ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = e^x + 2x + C $$

Do đó, khẳng định đúng là:
B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$

Đáp án: B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$

Câu 16:
Để tính tích phân của tổng hai hàm số $ f(x) + g(x) $, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Cụ thể, nếu ta biết rằng:

$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 3
$$
và
$$
\int_{a}^{b} g(x) \, dx = 1,
$$

thì tích phân của tổng hai hàm số sẽ là:

$$
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx.
$$

Áp dụng vào bài toán này, ta có:

$$
\int_{2}^{2} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{2} g(x) \, dx.
$$

Do đó:

$$
\int_{2}^{2} [f(x) + g(x)] \, dx = 3 + 1 = 4.
$$

Vậy đáp án đúng là:

A. 4.

Câu 17
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = f(x) $, $ y = 0 $, $ x = -1 $, và $ x = 2 $, ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào điểm giao của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Trong trường hợp này, ta thấy rằng hàm số $ f(x) $ có giá trị âm từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ và giá trị dương từ $ x = 1 $ đến $ x = 2 $.

Diện tích hình phẳng từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ sẽ là:
$$ S_1 = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx $$
(vì $ f(x) < 0 $ trong khoảng này, nên tích phân sẽ cho kết quả âm, ta cần lấy giá trị tuyệt đối để tính diện tích).

Diện tích hình phẳng từ $ x = 1 $ đến $ x = 2 $ sẽ là:
$$ S_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$
(vì $ f(x) > 0 $ trong khoảng này, nên tích phân sẽ cho kết quả dương).

Tổng diện tích $ S $ sẽ là tổng của hai diện tích này:
$$ S = S_1 + S_2 = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$

Do đó, mệnh đề đúng là:
$$ C. S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$

Câu 18:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) được cho là: 
$$ 2x - 3y + 4z - 1 = 0 $$

Phương trình này có dạng tổng quát của mặt phẳng là:
$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

Trong đó, $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 4 $, và $ D = -1 $.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $ x $, $ y $, và $ z $ trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$ \mathbf{n} = (A, B, C) = (2, -3, 4) $$

Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $

Đáp án: C. $ \mathbf{n} = (2, -3, 4) $

Câu 19:
Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đường thẳng $d$ hay không, ta cần thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không.

Phương trình của đường thẳng $d$ là:
$$ x + 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} $$

Ta sẽ kiểm tra từng điểm:

1. Kiểm tra điểm $P(-1; 2; 1)$:
   - Thay $x = -1$, $y = 2$, $z = 1$ vào phương trình:
     $$ -1 + 1 = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{1 - 1}{3} $$
     $$ 0 = 0 = 0 $$
   - Kết quả đúng, vậy điểm $P(-1; 2; 1)$ thuộc đường thẳng $d$.

2. Kiểm tra điểm $Q(1; -2; -1)$:
   - Thay $x = 1$, $y = -2$, $z = -1$ vào phương trình:
     $$ 1 + 1 = \frac{-2 - 2}{-1} = \frac{-1 - 1}{3} $$
     $$ 2 = 4 = -\frac{2}{3} $$
   - Kết quả sai, vậy điểm $Q(1; -2; -1)$ không thuộc đường thẳng $d$.

3. Kiểm tra điểm $N(-1; 3; 2)$:
   - Thay $x = -1$, $y = 3$, $z = 2$ vào phương trình:
     $$ -1 + 1 = \frac{3 - 2}{-1} = \frac{2 - 1}{3} $$
     $$ 0 = -1 = \frac{1}{3} $$
   - Kết quả sai, vậy điểm $N(-1; 3; 2)$ không thuộc đường thẳng $d$.

4. Kiểm tra điểm $P(1; 2; 1)$:
   - Thay $x = 1$, $y = 2$, $z = 1$ vào phương trình:
     $$ 1 + 1 = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{1 - 1}{3} $$
     $$ 2 = 0 = 0 $$
   - Kết quả sai, vậy điểm $P(1; 2; 1)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Vậy điểm thuộc đường thẳng $d$ là:
$$ \boxed{P(-1; 2; 1)} $$

Câu 20:
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3; -1; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-2; 4; 5)$ được viết dưới dạng:
$$
\begin{cases}
x = 3 - 2t \
y = -1 + 4t \
z = 4 + 5t
\end{cases}
$$

Do đó, phương án đúng là:
D. 
$$
\begin{cases}
x = 3 - 2t \
y = -1 + 4t \
z = 4 + 5t
\end{cases}
$$

Câu21:
Mặt cầu (S) có phương trình: $ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 9 $.

Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$
trong đó tâm của mặt cầu là $ (a, b, c) $ và bán kính là $ R $.

So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có:
$$ a = 0, \quad b = 2, \quad c = 0 $$
và
$$ R^2 = 9 $$

Từ đó suy ra bán kính $ R $ của mặt cầu là:
$$ R = \sqrt{9} = 3 $$

Vậy đáp án đúng là:
C. 3

Câu 22
Để tìm phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính bán kính của mặt cầu.
- Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A.
- Ta tính khoảng cách giữa hai điểm I (1;1;1) và A (1;2;3):
$$ R = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} $$

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu.
- Phương trình mặt cầu có tâm I (1;1;1) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $$
$$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5 $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 5 $$

Đáp án đúng là: C. $(x−1)^2+(y−1)^2+(z−1)^2=5$

Câu 23:
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(A|B) $ là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.
- $ P(A \cap B) $ là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra.
- $ P(B) $ là xác suất của biến cố B.

Do đó, đáp án đúng là:
B. $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

Lập luận từng bước:
1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được ký hiệu là $ P(A|B) $.
2. Công thức để tính $ P(A|B) $ là $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 24:
Để tính xác suất $ P(A|B) $, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(B) = 0,6 $
- $ P(A \cap B) = 0,2 $

Áp dụng công thức trên, ta có:

$$ P(A|B) = \frac{0,2}{0,6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Vậy xác suất $ P(A|B) $ là $\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}$

Câu 1.
a. Đúng vì theo tính chất của nguyên hàm, ta có:
$$
\int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 3x^2) \, dx = \int 4x^3 \, dx - \int 3x^2 \, dx
$$

b. Sai vì:
$$
\int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 3x^2) \, dx = \int 4x^3 \, dx - \int 3x^2 \, dx = x^4 - x^3 + C
$$
Phần này đúng, nhưng trong câu hỏi đã ghi là $ x^4 - x^3 + C $, nên không sai.

c. Sai vì:
$$
\int_{0}^{7} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{0}^{7} = (7^4 - 7^3) - (0^4 - 0^3) = 2401 - 343 = 2058
$$

d. Sai vì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = 4x^3 - 3x^2 $, trục Ox và hai đường thẳng $ x = -2 $ và $ x = 2 $ là:
$$
A = \left| \int_{-2}^{0} (4x^3 - 3x^2) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} (4x^3 - 3x^2) \, dx \right|
$$
Tính từng phần:
$$
\int_{-2}^{0} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{-2}^{0} = (0^4 - 0^3) - ((-2)^4 - (-2)^3) = 0 - (16 + 8) = -24
$$
$$
\int_{0}^{2} (4x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ x^4 - x^3 \right]_{0}^{2} = (2^4 - 2^3) - (0^4 - 0^3) = 16 - 8 = 8
$$
Diện tích tổng cộng:
$$
A = |-24| + |8| = 24 + 8 = 32
$$

Vậy đáp án là:
a. Đúng
b. Đúng
c. Sai
d. Sai

Câu 2.
a. Mặt phẳng $\alpha$ có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (2;3;-1)$

Đúng vì vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x + 3y - z + 1 = 0$ là $(2;3;-1)$.

b. Khoảng cách từ điểm A cách mặt phẳng ($\alpha$) là $\frac{2\sqrt{14}}{7}$

Ta tính khoảng cách từ điểm A(1; -2; 1) đến mặt phẳng $\alpha$: $2x + 3y - z + 1 = 0$ bằng công thức:
$$ d = \frac{|2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 6 - 1 + 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{7} $$

Đúng.

c. Đường thẳng đi qua điểm A(1; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$: $2x + 3y - z + 1 = 0$ có phương trình:
$$ \left\{
    \begin{array}{l}
        x = 1 + 2t \
        y = -2 + 3t \
        z = 1 - t
    \end{array}
\right. $$

Đúng vì đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng có vector pháp tuyến là $\vec{n} = (2;3;-1)$, nên phương trình tham số của đường thẳng là:
$$ \left\{
    \begin{array}{l}
        x = 1 + 2t \
        y = -2 + 3t \
        z = 1 - t
    \end{array}
\right. $$

d. Phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $\alpha$ là: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = \left(\frac{2\sqrt{14}}{7}\right)^2$

Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm A đến mặt phẳng $\alpha$, tức là $\frac{2\sqrt{14}}{7}$. Do đó, phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = \left(\frac{2\sqrt{14}}{7}\right)^2 = \frac{4 \cdot 14}{49} = \frac{56}{49} = \frac{8}{7} $$

Đúng.

Kết luận:
a. Đúng
b. Đúng
c. Đúng
d. Đúng

Câu 3.
a) Ta có:
$$
\int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx = x^4 - x^2 + x + C
$$
Đáp án đúng là: a) $\int f(x) \, dx = x^4 - x^2 + x + C$

b) Ta tính:
$$
\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} (4x^3 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^4 - x^2 + x \right]_{0}^{2} = (2^4 - 2^2 + 2) - (0^4 - 0^2 + 0) = 16 - 4 + 2 = 14
$$
Đáp án đúng là: b) $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 14$

c) Ta tính thể tích khối tròn xoay:
$$
V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x + 1)^2 \, dx
$$
Ta mở rộng bình phương:
$$
(4x^3 - 2x + 1)^2 = 16x^6 - 16x^4 + 8x^3 + 4x^2 - 4x + 1
$$
Do đó:
$$
V = \pi \int_{0}^{1} (16x^6 - 16x^4 + 8x^3 + 4x^2 - 4x + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{16x^7}{7} - \frac{16x^5}{5} + 2x^4 + \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{0}^{1}
$$
Tính giá trị tại các cận:
$$
V = \pi \left( \frac{16}{7} - \frac{16}{5} + 2 + \frac{4}{3} - 2 + 1 \right) = \pi \left( \frac{16}{7} - \frac{16}{5} + \frac{4}{3} + 1 \right)
$$
Quy đồng mẫu số:
$$
V = \pi \left( \frac{240}{105} - \frac{336}{105} + \frac{140}{105} + \frac{105}{105} \right) = \pi \left( \frac{240 - 336 + 140 + 105}{105} \right) = \pi \left( \frac{149}{105} \right) = \frac{149\pi}{105}
$$
Đáp án đúng là: c) Thể tích khối tròn xoay là $\frac{149\pi}{105}$

d) Ta tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$:
$$
A = \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{0}^{1} |(4x^3 - 2x + 1) - (3x^3 + 1)| \, dx = \int_{0}^{1} |x^3 - 2x| \, dx
$$
Ta thấy $x^3 - 2x < 0$ trên khoảng $(0, 1)$, do đó:
$$
A = \int_{0}^{1} (2x - x^3) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = (1^2 - \frac{1^4}{4}) - (0^2 - \frac{0^4}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$
Đáp án đúng là: d) Diện tích hình phẳng là $\frac{3}{4}$

Kết luận:
a) $\int f(x) \, dx = x^4 - x^2 + x + C$
b) $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 14$
c) Thể tích khối tròn xoay là $\frac{149\pi}{105}$
d) Diện tích hình phẳng là $\frac{3}{4}$

Câu 4.
a) Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $2x - y + 2z + 3 = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (2, -1, 2)$.

b) Để kiểm tra xem điểm $A(1, -2, 4)$ có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình của mặt phẳng:
$$ 2(1) - (-2) + 2(4) + 3 = 2 + 2 + 8 + 3 = 15 \neq 0 $$
Vậy điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

c) Đường thẳng đi qua điểm $A(1, -2, 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$, tức là $\vec{n} = (2, -1, 2)$. Phương trình đường thẳng này là:
$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-4}{2} $$

d) Mặt cầu tâm $A(1, -2, 4)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha)$ thì bán kính của mặt cầu chính là khoảng cách từ tâm $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$. Ta tính khoảng cách này bằng công thức:
$$ d = \frac{|2(1) - (-2) + 2(4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 8 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{15}{3} = 5 $$
Vậy bán kính của mặt cầu là 5.

Đáp số:
a) $\vec{n} = (2, -1, 2)$
b) Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$
c) Phương trình đường thẳng: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-4}{2}$
d) Bán kính của mặt cầu: 5

Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x + 1 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $.

Nguyên hàm của $ e^x $ là $ e^x $ và nguyên hàm của 1 là $ x $. Do đó, nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = e^x + x + C $$
trong đó $ C $ là hằng số nguyên hàm.

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa vào điều kiện $ F(0) = 2 $.

Thay $ x = 0 $ vào $ F(x) $:
$$ F(0) = e^0 + 0 + C = 1 + C $$

Theo điều kiện $ F(0) = 2 $, ta có:
$$ 1 + C = 2 $$
$$ C = 1 $$

Bước 3: Viết lại nguyên hàm $ F(x) $ với hằng số $ C $ đã xác định.

$$ F(x) = e^x + x + 1 $$

Bước 4: Tính $ F(1) $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = e^1 + 1 + 1 = e + 2 $$

Vậy, giá trị của $ F(1) $ là:
$$ F(1) = e + 2 $$

Đáp số: $ F(1) = e + 2 $

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính nguyên hàm của $ e^x + 1 $:
$$
\int (e^x + 1) \, dx = \int e^x \, dx + \int 1 \, dx = e^x + x + C
$$

2. Áp dụng cận trên và cận dưới của tích phân từ 0 đến 1:
$$
\left[ e^x + x \right]_0^1 = (e^1 + 1) - (e^0 + 0) = (e + 1) - (1 + 0) = e + 1 - 1 = e
$$

3. So sánh kết quả với dạng $ a + b \ln c $:
$$
e = a + b \ln c
$$
Ở đây, ta nhận thấy rằng $ e $ có thể được viết dưới dạng $ e + 0 \ln 1 $. Do đó, ta có:
$$
a = e, \quad b = 0, \quad c = 1
$$

4. Tính $ P = a + b + c $:
$$
P = e + 0 + 1 = e + 1
$$

Vậy, kết quả cuối cùng là:
$$
P = e + 1
$$

Đáp số: $ P = e + 1 $

Câu 3.
Để tính xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cây ở khu B:
   - Số cây ở khu B là 200 cây.

2. Tìm số cây Táo ở khu B:
   - Số cây Táo ở khu B là 100 cây.

3. Tính xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B:
   - Xác suất được tính bằng cách lấy số cây Táo ở khu B chia cho tổng số cây ở khu B.
   - Xác suất = $\frac{\text{Số cây Táo ở khu B}}{\text{Tổng số cây ở khu B}}$ = $\frac{100}{200}$ = $\frac{1}{2}$.

Vậy xác suất cây được chọn là cây Táo, biết rằng cây đó ở khu B là $\frac{1}{2}$.

Câu 4.
Để tính xác suất của sự kiện $A \cap B$ (tức là cả hai sự kiện $A$ và $B$ cùng xảy ra), ta cần biết thêm thông tin về mối liên hệ giữa hai sự kiện này. Nếu không có thông tin nào khác, ta giả sử rằng hai sự kiện $A$ và $B$ là độc lập.

Trong trường hợp hai sự kiện độc lập, xác suất của sự kiện $A \cap B$ được tính bằng cách nhân xác suất của mỗi sự kiện lại với nhau:

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

$$ P(A \cap B) = 0,8 \times 0,3 $$

Tính toán:

$$ P(A \cap B) = 0,24 $$

Vậy xác suất của sự kiện $A \cap B$ là 0,24.

Đáp số: $P(A \cap B) = 0,24$.

Câu 5:
Để tính giá trị của hàm số $ f(x) $ tại điểm $ x = -1 $, chúng ta cần biết biểu thức của hàm số $ f(x) $. Biết rằng đạo hàm của $ f(x) $ là $ f'(x) = 3x^2 + 2x - 6 $, chúng ta sẽ tìm $ f(x) $ bằng cách tích phân $ f'(x) $.

Bước 1: Tích phân $ f'(x) $ để tìm $ f(x) $:
$$ f(x) = \int (3x^2 + 2x - 6) \, dx $$
$$ f(x) = x^3 + x^2 - 6x + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ f(2) = 1 $:
$$ f(2) = 2^3 + 2^2 - 6 \cdot 2 + C = 1 $$
$$ 8 + 4 - 12 + C = 1 $$
$$ 0 + C = 1 $$
$$ C = 1 $$

Vậy hàm số $ f(x) $ là:
$$ f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1 $$

Bước 3: Tính giá trị của $ f(x) $ tại điểm $ x = -1 $:
$$ f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 6(-1) + 1 $$
$$ f(-1) = -1 + 1 + 6 + 1 $$
$$ f(-1) = 7 $$

Đáp số: $ f(-1) = 7 $

Câu 6:
Xác suất để lần đầu rút trúng thưởng là $\frac{2}{200} = \frac{1}{100}$

Sau lần đầu rút trúng thưởng, trong hộp còn lại 199 phiếu, trong đó có 1 phiếu trúng thưởng.

Xác suất để lần thứ hai rút trúng thưởng là $\frac{1}{199}$

Xác suất để cả hai lần đều trúng thưởng là:

$\frac{1}{100} \times \frac{1}{199} = \frac{1}{19900}$

Phân số tối giản này có dạng $\frac{a}{b}$, trong đó $a = 1$ và $b = 19900$.

Vậy $a + b = 1 + 19900 = 19901$

Đáp số: 19901

Câu 1:
Để tính số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính thể tích của cây cầu:
   - Cây cầu có dạng hình trụ, do đó thể tích của nó được tính theo công thức:
     $$
     V = \pi r^2 h
     $$
   - Trong đó, $ r $ là bán kính đáy của hình trụ và $ h $ là chiều cao (hoặc chiều dài) của hình trụ.

2. Áp dụng dữ liệu vào công thức:
   - Bán kính đáy $ r = 2 $ mét.
   - Chiều cao $ h = 10 $ mét.
   - Vậy thể tích của cây cầu là:
     $$
     V = \pi \times 2^2 \times 10 = \pi \times 4 \times 10 = 40\pi \text{ mét khối}
     $$

3. Tính tổng chi phí đổ bê tông:
   - Mỗi mét khối bê tông có giá 850.000 đồng.
   - Tổng chi phí đổ bê tông là:
     $$
     \text{Tổng chi phí} = 40\pi \times 850.000 \text{ đồng}
     $$

4. Tính số tiền xã X phải đóng góp:
   - Người dân đóng góp 60% tổng chi phí.
   - Số tiền xã X phải đóng góp là:
     $$
     \text{Số tiền xã X phải đóng góp} = 0.6 \times 40\pi \times 850.000 \text{ đồng}
     $$

5. Tính toán cụ thể:
   - Trước tiên, tính tổng chi phí:
     $$
     40\pi \times 850.000 = 40 \times 3.14159 \times 850.000 = 106.814.000 \text{ đồng}
     $$
   - Sau đó, tính số tiền xã X phải đóng góp:
     $$
     0.6 \times 106.814.000 = 64.088.400 \text{ đồng}
     $$

Vậy số tiền xã X phải đóng góp để đổ bê tông cây cầu là 64.088.400 đồng.

Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số A. 2sinxdx = −2cosx+C C. 2sinxdx=sin2 x+C D. 2sinxdx=sin2x+C Câu 15: Cho hàm số f (x)=ex +2. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. f (x)dx=ex−2 +C. B. f (x)dx=ex +2...