giải trắc nghiệm đúng sai cụ thể từng câu giúp e Hình học 12-Chương 5-PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong KG - Bài tập theo CT mới 2025,Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x+3)^2+y^2+(z-2)^2=16$ có tâm I và bán kính,R . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,A. Điểm $M(-1;0;3)$ nằm trong mặt cầu (S), với $M(-1;0;3).$,B. Bán kính mặt cầu (S) là $R=4.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-3;0;2).$,D. Bán kính mặt cầu (S) là $R=16.$,Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm $M(2;0;2)$ và mặt cầu,$(S):~x^2+(y+2)^2+(z-2)^2=8.$ Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,A. Điểm $M(2;0;2)$ thuộc mặt cầu (S) .,B. Bán kính mặt cầu (S) là $R=2\sqrt2.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(0;-2;2).$,D. Bán kính mặt cầu (S) là $R=8.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz , mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20.$ Các mệnh đề sau đây,đúng hay sai?,A. Bán kính mặt cầu (S) là 20..,B. Bán kính mặt cầu (S) là $2\sqrt5.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-1;2;-4).$,D. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(1;-2;4).$,Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các phương trình sau:,$(S_1):~x^2+y^2+z^2+x-2y+4z-3=0,(S_2):~2x^2+2y^2+2z^2-x-y-z=0$,$(S_3):2x^2+2y^2+2z^2+4x+8y+6z+3=0,~(S_4):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+10=0.$,Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,$A.~(S_1)$ là phương trình của một mặt cầu.,$B.~(S_2)$ là phương trình của một mặt cầu.,$C.~(S_3)$ không phải là phương trình của một mặt cầu.,$D.~(S_4)$ không phải là phương trình của một mặt cầu.,Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các phương trình sau:,$(S_1):~x^2+y^2+z^2-2x=0,(S_2):~x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0,~(S_3):~2x^2+2y^2=(x+y)^2-z^2+2x-1,$,$(S_4):(x+y)^2=2xy-z^2-1.$

Question

Accepted Answer

Câu 18.
A. Ta thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu (S):
$(x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = (-1+3)^2 + 0^2 + (3-2)^2 = 2^2 + 0 + 1^2 = 4 + 0 + 1 = 5 < 16$
Vậy điểm M nằm trong mặt cầu (S).

B. Phương trình mặt cầu (S) có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó R là bán kính. So sánh với phương trình $(x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$, ta thấy $R^2 = 16$. Do đó, $R = \sqrt{16} = 4$.
Vậy bán kính mặt cầu (S) là $R = 4$.

C. Phương trình mặt cầu (S) có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó (a, b, c) là tọa độ tâm mặt cầu. So sánh với phương trình $(x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$, ta thấy tâm mặt cầu là $I(-3, 0, 2)$.
Vậy tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-3, 0, 2)$.

D. Như đã chứng minh ở phần B, bán kính mặt cầu (S) là $R = 4$, không phải $R = 16$.

Kết luận:
A. Đúng
B. Đúng
C. Đúng
D. Sai

Câu 19.
A. Ta thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt cầu (S):
$$ 2^2 + (0 + 2)^2 + (2 - 2)^2 = 4 + 4 + 0 = 8 $$
Phương trình đúng nên điểm M thuộc mặt cầu (S).

B. Mặt cầu (S) có phương trình chuẩn dạng:
$$ (x - 0)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8 $$
Từ đó ta thấy bán kính của mặt cầu là:
$$ R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$

C. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là:
$$ I(0, -2, 2) $$

D. Bán kính của mặt cầu (S) là:
$$ R = 2\sqrt{2} \neq 8 $$

Kết luận:
A. Đúng
B. Đúng
C. Đúng
D. Sai

Câu 20.
Mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20.$

So sánh phương trình trên với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, ta có:

- Tâm của mặt cầu là $I(a, b, c)$, trong trường hợp này là $I(1, -2, 4)$.
- Bán kính của mặt cầu là $R$, trong trường hợp này là $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:

A. Bán kính mặt cầu (S) là 20.
- Sai, vì bán kính thực tế là $2\sqrt{5}$.

B. Bán kính mặt cầu (S) là $2\sqrt{5}$.
- Đúng, vì bán kính thực tế là $2\sqrt{5}$.

C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-1;2;-4)$.
- Sai, vì tọa độ tâm thực tế là $I(1, -2, 4)$.

D. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(1;-2;4)$.
- Đúng, vì tọa độ tâm thực tế là $I(1, -2, 4)$.

Kết luận:
- Mệnh đề A sai.
- Mệnh đề B đúng.
- Mệnh đề C sai.
- Mệnh đề D đúng.

Câu 21.
Để kiểm tra xem mỗi phương trình có phải là phương trình của một mặt cầu hay không, ta sẽ hoàn thành bình phương cho mỗi phương trình.

Phương trình $(S_1):~x^2 + y^2 + z^2 + x - 2y + 4z - 3 = 0$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến từng biến lại:
$$ x^2 + x + y^2 - 2y + z^2 + 4z - 3 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 - 3 = 0 $$
$$ (x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - \frac{1}{4} - 1 - 4 - 3 = 0 $$
$$ (x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = \frac{25}{4} $$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_1)$ là phương trình của một mặt cầu. Mệnh đề A đúng.

Phương trình $(S_2):~2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - x - y - z = 0$

Chia cả hai vế cho 2:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} - \frac{z}{2} = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + (y - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + (z - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} = 0 $$
$$ (x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 + (z - \frac{1}{4})^2 = \frac{3}{16} $$

Phương trình này cũng có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_2)$ là phương trình của một mặt cầu. Mệnh đề B đúng.

Phương trình $(S_3):~2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$

Chia cả hai vế cho 2:
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x + 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + \frac{3}{2})^2 - 1 - 4 - \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + \frac{3}{2})^2 = \frac{15}{4} $$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_3)$ là phương trình của một mặt cầu. Mệnh đề C sai.

Phương trình $(S_4):~x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 2)^2 - 4 + 10 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 - 1 - 4 - 4 + 10 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = -1 $$

Phương trình này không có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ vì bán kính vuông (R^2) phải là số dương. Do đó $(S_4)$ không phải là phương trình của một mặt cầu. Mệnh đề D đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề A đúng.
- Mệnh đề B đúng.
- Mệnh đề C sai.
- Mệnh đề D đúng.

Câu 22.
Để lập luận từng bước về các phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz, ta sẽ lần lượt phân tích từng phương trình và đưa chúng về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu.

Phương trình $(S_1):~x^2 + y^2 + z^2 - 2x = 0$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến biến $x$:
$$ x^2 - 2x + y^2 + z^2 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - 1)^2 - 1 + y^2 + z^2 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

Phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu tâm $(1, 0, 0)$ và bán kính $1$.

Phương trình $(S_2):~x^2 + y^2 - z^2 + 2x - y + 1 = 0$

Nhóm các hạng tử liên quan đến biến $x$ và $y$:
$$ x^2 + 2x + y^2 - y - z^2 + 1 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x + 1)^2 - 1 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - z^2 + 1 = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - z^2 - \frac{1}{4} = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - z^2 = \frac{1}{4} $$

Phương trình này không phải dạng chuẩn của mặt cầu vì có cả $z^2$ âm.

Phương trình $(S_3):~2x^2 + 2y^2 = (x + y)^2 - z^2 + 2x - 1$

Rаскрываем скобки в правой части:
$$ 2x^2 + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2 + 2x - 1 $$

Переносим все члены в левую часть:
$$ 2x^2 + 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2 + z^2 - 2x + 1 = 0 $$
$$ x^2 - 2xy + y^2 + z^2 - 2x + 1 = 0 $$

Группируем и завершаем квадрат:
$$ (x - y)^2 + z^2 - 2x + 1 = 0 $$

Это не является стандартным уравнением сферы из-за наличия $(x - y)^2$.

Уравнение $(S_4):~(x + y)^2 = 2xy - z^2 - 1$

Раскрываем скобки:
$$ x^2 + 2xy + y^2 = 2xy - z^2 - 1 $$

Переносим все члены в левую часть:
$$ x^2 + 2xy + y^2 - 2xy + z^2 + 1 = 0 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0 $$

Это не является стандартным уравнением сферы, так как сумма квадратов не может быть отрицательной.

Заключение

Из всех уравнений только $(S_1)$ является уравнением сферы в стандартной форме. Остальные уравнения не соответствуют стандартному виду уравнения сферы.

Ответ: Только $(S_1)$ является уравнением сферы.