Giai dap cau hoi

Câu 1: Để tính bán kính của mặt cầu tâm $$ và tiếp xúc với trục $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách từ tâm $$ đến trục $$: - Tâm $$ có tọa độ $$. - Trục $$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $$ và song song với trục $$. 2. Tìm điểm trên trục $$ gần nhất với tâm $$: - Điểm trên trục $$ có tọa độ dạng $$. - Ta chọn điểm $$ trên trục $$ sao cho khoảng cách từ $$ đến $$ là nhỏ nhất. 3. Tính khoảng cách giữa hai điểm $$ và $$: - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: $$ - Thay tọa độ của $$ và $$: $$ 4. Kết luận bán kính của mặt cầu: - Vì mặt cầu tiếp xúc với trục $$, khoảng cách từ tâm $$ đến trục $$ chính là bán kính của mặt cầu. - Vậy bán kính của mặt cầu là $$. Đáp số: Bán kính của mặt cầu là $$. Câu 2: Trước tiên, ta xác định tâm của mặt cầu (S) là $$ và mặt cầu có đúng một điểm chung với mặt phẳng (Oxy). Điều này có nghĩa là tâm của mặt cầu nằm trên trục Oz và bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng (Oxy). Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $$ đến mặt phẳng (Oxy), tức là: $$ Do đó, phương trình của mặt cầu (S) là: $$ Tiếp theo, ta tìm giao điểm của mặt cầu (S) với trục Oz. Trên trục Oz, tọa độ của các điểm có dạng $$. Thay vào phương trình của mặt cầu, ta có: $$ $$ $$ $$ $$ Từ đây, ta có hai giá trị của $$: $$ $$ Vì yêu cầu $$, ta chọn $$. Do đó, giao điểm của mặt cầu (S) với trục Oz là $$. Cuối cùng, ta tính tổng $$: $$ Đáp số: 5 Câu 3. Gọi bán kính của quả bóng là $$. Ta có: - Khoảng cách từ tâm quả bóng đến mỗi bức tường là $$. - Khoảng cách từ tâm quả bóng đến nền nhà là $$. Do đó, ta có: $$ $$ $$ Trong đó, $$, $$, và $$ là các khoảng cách từ tâm quả bóng đến các bức tường và nền nhà tương ứng. Từ đây, ta có: $$ $$ $$ Ta cũng biết rằng tổng các khoảng cách từ tâm quả bóng đến ba mặt phẳng (hai bức tường và nền nhà) là: $$ Thay các giá trị vào, ta có: $$ Giải phương trình này: $$ $$ $$ Vậy bán kính của quả bóng là 28 cm. Do đó, đường kính của quả bóng là: $$ Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm. Vì vậy, kết quả này không phù hợp với yêu cầu của đề bài. Do đó, ta cần kiểm tra lại các giả thiết và phương pháp giải. Ta nhận thấy rằng phương pháp trên đã dẫn đến kết quả không phù hợp với yêu cầu của đề bài. Ta sẽ áp dụng phương pháp khác để tìm đường kính của quả bóng. Ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến của hình cầu với ba mặt phẳng. Ta có: $$ Giải phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai này: $$ $$ $$ $$ Ta có hai nghiệm: $$ $$ Vì bán kính của quả bóng rổ tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng từ 11.5 cm đến 12.25 cm, ta chọn nghiệm phù hợp: $$ Vậy đường kính của quả bóng là: $$ Đáp số: 24.5 cm.