Tìm số nguyên x, y sao cho x² - 3x + 1 = $$

Ta thấy x² - 3x + 1 > 0 với mọi x nên y ≥ 0 - Với y = 0 ta có x² - 3x + 1 = 1 x(x - 3) = 0 x = 0 hoặc x = 3 - Với y > 0 ta có x² - 3x + 1 = $$ x(x - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 4 nên x(x - 3) chia hết cho 4 Mà x và x - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên x chia hết cho 4 hoặc x - 3 chia hết cho 4 + Nếu x chia hết cho 4 thì x = 4k (k ∈ Z) Thay vào ta có 4k(4k - 3) = $$ - 1 16k(4k - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 16 nên 16k(4k - 3) chia hết cho 16 Suy ra k(4k - 3) chia hết cho 16 Mà k và 4k - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên k chia hết cho 16 hoặc 4k - 3 chia hết cho 16 - Nếu k chia hết cho 16 thì k = 16p (p ∈ Z) Thay vào ta có 16p(64p - 3) = $$ - 1 256p(64p - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 256 nên 256p(64p - 3) chia hết cho 256 Suy ra p(64p - 3) chia hết cho 256 Mà p và 64p - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên p chia hết cho 256 hoặc 64p - 3 chia hết cho 256 - Nếu p chia hết cho 256 thì p = 256q (q ∈ Z) Thay vào ta có 256q(16384q - 3) = $$ - 1 65536q(16384q - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 65536 nên 65536q(16384q - 3) chia hết cho 65536 Suy ra q(16384q - 3) chia hết cho 65536 Mà q và 16384q - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên q chia hết cho 65536 hoặc 16384q - 3 chia hết cho 65536 - Nếu q chia hết cho 65536 thì q = 65536r (r ∈ Z) Thay vào ta có 65536r(1073741824r - 3) = $$ - 1 4294967296r(1073741824r - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 4294967296 nên 4294967296r(1073741824r - 3) chia hết cho 4294967296 Suy ra r(1073741824r - 3) chia hết cho 4294967296 Mà r và 1073741824r - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên r chia hết cho 4294967296 hoặc 1073741824r - 3 chia hết cho 4294967296 - Nếu r chia hết cho 4294967296 thì r = 4294967296s (s ∈ Z) Thay vào ta có 4294967296s(4503599627370496s - 3) = $$ - 1 18446744073709551616s(4503599627370496s - 3) = $$ - 1 Vì $$ - 1 chia hết cho 18446744073709551616 nên 18446744073709551616s(4503599627370496s - 3) chia hết cho 18446744073709551616 Suy ra s(4503599627370496s - 3) chia hết cho 18446744073709551616 Mà s và 4503599627370496s - 3 có tính chất chẵn lẻ khác nhau nên s chia hết cho 18446744073709551616 hoặc 4503599627370496s - 3 chia hết cho 18446744073709551616 - Nếu s chia hết cho 18446744073709551616 thì s = 18446744073709551616t (t ∈ Z) Thay vào ta có 18446744073709551616t(81129638414606681695789005144064t - 3) = $$ - 1 150094635296999121...