Cffffffttttt PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Gia tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động thẳng được cho bởi công thức $a(t)=4\pi\cos t$,$(cm/s^2).$ Nếu vận tốc của vật bằng 0 tại thời điểm $t=0$ thì vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời,gian $0\leq t\leq\pi$ là bao nhiêu?,Câu 2. Năm bạn A,B,C,D,E xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để A đứng,cạnh C, biết rằng A không đứng cạnh E.,Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(3;1;7),~B(5;5;1)$ và mặt phẳng,$(P):~2x-y-z+4=0.$ Điểm M thuộc (P) sao cho $MA=MB=\sqrt{35}.$ Biết M có hoành độ nguyên, tính,OM (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).,Câu 4. Trong một nhóm người cao tuổi có 60% là nam giới. Kết quả kiểm tra sức khỏe cho thấy trong,nhóm đó, tỉ lệ nam giới bị cao huyết áp gấp 1,2 lần tỉ lệ nữ giới bị cao huyết áp. Chọn ngẫu nhiên một,người trong nhóm và thấy rằng người này bị cao huyết áp. Tính xác suất người đó là nam giới (làm tròn,đến chữ số thập phân thứ hai).,Câu 5. Một vật trang trí kim tự tháp dạng hình chóp tam giác đều S.CBA có chiều cao 110 mm và đáy là,tam giác đều cạnh 120 mm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa O trùng với trung điểm của cạnh đáy,BC , đỉnh B thuộc tia Ox và đỉnh A thuộc tia Oy . Tính côsin của góc giữa hai mặt bên của vật trang trí đó,(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai),Câu 6. Một vệ tinh được thiết kế với quỹ đạo là một mặt cầu với tâm có tọa độ (10;-20;30) và bán kính,bằng 50. Do vấn đề kỹ thuật tâm của quỹ đạo được dịch chuyển đến vị trí mới sao cho phương trình quỹ,đạo lúc này là $(x-5)^2+(y+25)^2+(z-35)^2=2500.$ Xác định khoảng cách dịch chuyển của tâm quỹ đạo,(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai),----- Hết -----

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $0$ đến $\pi$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc tức thời $v(t)$:
   Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc tức thời $v(t)$ theo thời gian $t$. Do đó:
   $$
   v(t) = \int a(t) \, dt = \int 4\pi \cos t \, dt = 4\pi \sin t + C
   $$
   Biết rằng vận tốc của vật bằng 0 tại thời điểm $t = 0$, ta có:
   $$
   v(0) = 4\pi \sin 0 + C = 0 \implies C = 0
   $$
   Vậy vận tốc tức thời của vật là:
   $$
   v(t) = 4\pi \sin t
   $$

2. Tính tổng quãng đường đã đi trong khoảng thời gian từ $0$ đến $\pi$:
   Tổng quãng đường đã đi là tích phân của vận tốc tức thời từ $0$ đến $\pi$:
   $$
   \text{Quãng đường} = \int_{0}^{\pi} v(t) \, dt = \int_{0}^{\pi} 4\pi \sin t \, dt
   $$
   Tính tích phân:
   $$
   \int_{0}^{\pi} 4\pi \sin t \, dt = 4\pi \left[ -\cos t \right]_{0}^{\pi} = 4\pi \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) = 4\pi \left( -(-1) + 1 \right) = 4\pi \times 2 = 8\pi
   $$

3. Tính vận tốc trung bình:
   Vận tốc trung bình là tổng quãng đường chia cho thời gian:
   $$
   v_{\text{tb}} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Thời gian}} = \frac{8\pi}{\pi} = 8 \, \text{(cm/s)}
   $$

Vậy vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $0$ đến $\pi$ là $8 \, \text{cm/s}$.

Câu 2.
Để tính xác suất để A đứng cạnh C, biết rằng A không đứng cạnh E, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cách xếp năm bạn A, B, C, D, E:
   - Tổng số cách xếp 5 bạn là $5!$:
   $$
   5! = 120
   $$

2. Tìm số cách xếp sao cho A đứng cạnh C:
   - Xem A và C như một nhóm, vậy ta có 4 nhóm (A-C, B, D, E). Số cách xếp 4 nhóm này là $4!$:
   $$
   4! = 24
   $$
   - Trong nhóm A-C, A và C có thể đổi chỗ cho nhau, nên có 2 cách xếp:
   $$
   24 \times 2 = 48
   $$

3. Tìm số cách xếp sao cho A đứng cạnh C và A đứng cạnh E:
   - Xem A, C và E như một nhóm, vậy ta có 3 nhóm (A-C-E, B, D). Số cách xếp 3 nhóm này là $3!$:
   $$
   3! = 6
   $$
   - Trong nhóm A-C-E, A, C và E có thể đổi chỗ cho nhau, nhưng A phải đứng giữa C và E, nên có 2 cách xếp:
   $$
   6 \times 2 = 12
   $$

4. Tìm số cách xếp sao cho A đứng cạnh C và A không đứng cạnh E:
   - Số cách xếp sao cho A đứng cạnh C nhưng không đứng cạnh E là:
   $$
   48 - 12 = 36
   $$

5. Tính xác suất:
   - Xác suất để A đứng cạnh C, biết rằng A không đứng cạnh E là:
   $$
   \frac{36}{120} = \frac{3}{10}
   $$

Vậy xác suất để A đứng cạnh C, biết rằng A không đứng cạnh E là $\frac{3}{10}$.

Câu 3.
Điểm M thuộc (P) nên có tọa độ $M(a;~2a+4;~a).$
Ta có $MA=MB$ nên $MA^{2}=MB^{2}$
$\Rightarrow (a-3)^{2}+(2a+4-1)^{2}+(a-7)^{2}=(a-5)^{2}+(2a+4-5)^{2}+(a-1)^{2}$
$\Rightarrow a^{2}-6a+9+4a^{2}+12a+9+a^{2}-14a+49=a^{2}-10a+25+4a^{2}-4a+1+a^{2}-2a+1$
$\Rightarrow -8a+68=-6a+27$
$\Rightarrow a=41$
Vậy $M(41;~86;~41)$
$\Rightarrow OM=\sqrt{41^{2}+86^{2}+41^{2}}\approx 100,05$

Câu 4.
Gọi A là biến cố "Chọn ra một người bị cao huyết áp".
Gọi B là biến cố "Chọn ra một người nam giới".
Theo đề bài ta có P(B) = 0,6 và P($\overline{B}$) = 0,4.
Gọi p là xác suất của biến cố "Chọn ra một người nam giới bị cao huyết áp", thì xác suất của biến cố "Chọn ra một người nữ giới bị cao huyết áp" là 0,8p.
Vậy P(A|B) = p và P(A|$\overline{B}$) = 0,8p.
Xác suất để chọn ra một người bị cao huyết áp là:
P(A) = P(B) $\times$ P(A|B) + P($\overline{B}$) $\times$ P(A|$\overline{B}$)
= 0,6 $\times$ p + 0,4 $\times$ 0,8p
= 0,92p
Xác suất để chọn ra một người nam giới bị cao huyết áp là:
P(A $\cap$ B) = P(B) $\times$ P(A|B) = 0,6 $\times$ p = 0,6p
Vậy xác suất để người bị cao huyết áp là nam giới là:
P(B|A) = $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ = $\frac{0,6p}{0,92p}$ = 0,65
Đáp số: 0,65

Câu 5.
Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.CBA trong hệ tọa độ Oxyz đã cho.

- Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BC, ta có:
  - B(60, 0, 0)
  - C(-60, 0, 0)

- Vì A thuộc tia Oy và tam giác ABC đều cạnh 120 mm, ta có:
  - A(0, 60√3, 0)

- Chiều cao của chóp là 110 mm, đỉnh S nằm trên trục Oz, ta có:
  - S(0, 0, 110)

Tiếp theo, ta tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt bên SCB và SAB.

- Mặt SCB có hai vectơ cạnh là:
  - $\overrightarrow{SC} = (-60, 0, -110)$
  - $\overrightarrow{SB} = (60, 0, -110)$

Vectơ pháp tuyến của mặt SCB là:
  $$
  \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SB} = 
  \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
  -60 & 0 & -110 \
  60 & 0 & -110
  \end{vmatrix} = (0, 13200, 0)
  $$

- Mặt SAB có hai vectơ cạnh là:
  - $\overrightarrow{SA} = (0, 60\sqrt{3}, -110)$
  - $\overrightarrow{SB} = (60, 0, -110)$

Vectơ pháp tuyến của mặt SAB là:
  $$
  \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB} = 
  \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
  0 & 60\sqrt{3} & -110 \
  60 & 0 & -110
  \end{vmatrix} = (6600\sqrt{3}, 6600, 0)
  $$

Cuối cùng, ta tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến này để tìm cosin của góc giữa hai mặt bên.

- Độ dài của $\overrightarrow{n_1}$ là:
  $$
  |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + 13200^2 + 0^2} = 13200
  $$

- Độ dài của $\overrightarrow{n_2}$ là:
  $$
  |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(6600\sqrt{3})^2 + 6600^2 + 0^2} = \sqrt{6600^2 \cdot 3 + 6600^2} = \sqrt{6600^2 \cdot 4} = 13200
  $$

- Tích vô hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là:
  $$
  \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot 6600\sqrt{3} + 13200 \cdot 6600 + 0 \cdot 0 = 87120000
  $$

- Cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến là:
  $$
  \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{87120000}{13200 \cdot 13200} = \frac{87120000}{174240000} = \frac{1}{2} = 0.5
  $$

Vậy cosin của góc giữa hai mặt bên của vật trang trí là 0.5.

Câu 6.
Để xác định khoảng cách dịch chuyển của tâm quỹ đạo, chúng ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm tâm ban đầu và tâm mới.

Tâm ban đầu của quỹ đạo có tọa độ là $ (10, -20, 30) $.

Tâm mới của quỹ đạo có tọa độ là $ (5, -25, 35) $.

Khoảng cách giữa hai điểm tâm này được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$

Thay tọa độ của hai tâm vào công thức:
$$
d = \sqrt{(5 - 10)^2 + (-25 + 20)^2 + (35 - 30)^2}
$$
$$
d = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2}
$$
$$
d = \sqrt{25 + 25 + 25}
$$
$$
d = \sqrt{75}
$$
$$
d = 5\sqrt{3} \approx 8.66
$$

Vậy khoảng cách dịch chuyển của tâm quỹ đạo là $ 8.66 $ đơn vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).