Giảiiiiiiiiii $A.~\frac{-\sqrt2+8}{20}.$ $B.~\frac{-\sqrt2-8}{20}.$ $C.~2-\sqrt2.$ $D.~2+\sqrt2.$,Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~6x+8y+10z-1=0$ và đường thẳn,$d:\frac{x-2}3=\frac{y+1}4=\frac{z-5}5.$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là,$A.~45^0.$ $B.~30^0.$ $C.~60^0.$ $D.~90^0.$,Câu 12. Cho hai biến cố A và B, với $P(A)=0,6,~P(B)=0,7,~P(A\cap B)=0,3.$ Tính $P(AIB).$,$A.~\frac67.$ $B.~\frac17.$ $C.~\frac12.$ $D.~\frac37.$,Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi,câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(-1;2;3),~B(1;0;3)$ và mặt phẳng $(P):~x+y+z+1=0.$,a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ là $I(0;1;3).$,b) Phương trình mặt cầu đường kính AB là $x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=2.$,c) Bán kính của mặt cầu đường kính AB bằng $2\sqrt2.$,d) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho $d_1:\frac x1=\frac y2=\frac{z-2}{-3}$ và $d_2:\left\{\begin{array}lx=2t\y=-3-t.\z=0\end{array} ight.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$a)~d_2$ đi qua điểm $A(0;3;0).$,b) Vec tơ $\overrightarrow u=(1;2;-3)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $d_1.$,$c)~d_1$ song song với $d_2.$,$d)~d_1$ vuông góc với $d_2$,ã đề 122

Question

Giảiiiiiiiiii $A.~\frac{-\sqrt2+8}{20}.$ $B.~\frac{-\sqrt2-8}{20}.$ $C.~2-\sqrt2.$ $D.~2+\sqrt2.$,Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~6x+8y+10z-1=0$ và đường thẳn,$d:\frac{x-2}3=\frac{y+1}4=\frac{z-5}5.$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là,$A.~45^0.$ $B.~30^0.$ $C.~60^0.$ $D.~90^0.$,Câu 12. Cho hai biến cố A và B, với $P(A)=0,6,~P(B)=0,7,~P(A\cap B)=0,3.$ Tính $P(AIB).$,$A.~\frac67.$ $B.~\frac17.$ $C.~\frac12.$ $D.~\frac37.$,Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi,câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(-1;2;3),~B(1;0;3)$ và mặt phẳng $(P):~x+y+z+1=0.$,a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ là $I(0;1;3).$,b) Phương trình mặt cầu đường kính AB là $x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=2.$,c) Bán kính của mặt cầu đường kính AB bằng $2\sqrt2.$,d) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho $d_1:\frac x1=\frac y2=\frac{z-2}{-3}$ và $d_2:\left\{\begin{array}lx=2t\y=-3-t.\z=0\end{array}ight.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$a)~d_2$ đi qua điểm $A(0;3;0).$,b) Vec tơ $\overrightarrow u=(1;2;-3)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $d_1.$,$c)~d_1$ song song với $d_2.$,$d)~d_1$ vuông góc với $d_2$,ã đề 122

Accepted Answer

Câu 11.
Để tìm góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $6x + 8y + 10z - 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (6, 8, 10)$.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-5}{5}$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (3, 4, 5)$.

3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ $\vec{n}$ và vectơ $\vec{u}$. Ta có:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|}
   $$
   Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u}$:
   $$
   \vec{n} \cdot \vec{u} = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 18 + 32 + 50 = 100
   $$
   Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
   $$
   Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos \theta = \frac{100}{(10\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{100}{100} = 1
   $$
   Điều này cho thấy $\theta = 0^\circ$.

4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
   $$
   \sin \alpha = \cos \theta = 1
   $$
   Do đó:
   $$
   \alpha = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $90^\circ$.

Đáp án đúng là: $D.~90^\circ$.

Câu 12.
Để tính xác suất điều kiện $ P(A|B) $, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(A \cap B) $ là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc.
- $ P(B) $ là xác suất của biến cố B.

Theo đề bài, ta có:
- $ P(A) = 0,6 $
- $ P(B) = 0,7 $
- $ P(A \cap B) = 0,3 $

Áp dụng công thức trên, ta có:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7} $$

Vậy đáp án đúng là:

$$ D.~\frac{3}{7} $$

Câu 1.
a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là điểm có tọa độ là $I(0;1;3).$

b) Phương trình mặt cầu đường kính AB là $x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=2.$

c) Bán kính của mặt cầu đường kính AB bằng $2\sqrt2.$

d) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.

Lập luận từng bước:

a) Tâm của mặt cầu đường kính AB là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ của trung điểm I như sau:
$$ I = \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = (0, 1, 3) $$

b) Phương trình mặt cầu đường kính AB có tâm tại I(0, 1, 3) và bán kính bằng nửa chiều dài đoạn thẳng AB. Ta tính bán kính R:
$$ R = \frac{1}{2} \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 + 0} = \frac{1}{2} \sqrt{8} = \sqrt{2} $$
Phương trình mặt cầu là:
$$ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = (\sqrt{2})^2 $$
$$ x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 2 $$

c) Bán kính của mặt cầu đường kính AB đã được tính ở phần trên là $\sqrt{2}$.

d) Để kiểm tra xem mặt phẳng (P) có tiếp xúc với mặt cầu hay không, ta cần tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P). Nếu khoảng cách này bằng bán kính của mặt cầu thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu.

Phương trình mặt phẳng (P) là:
$$ x + y + z + 1 = 0 $$

Khoảng cách từ điểm I(0, 1, 3) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|0 + 1 + 3 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $$

Ta thấy rằng:
$$ \frac{5\sqrt{3}}{3} \neq \sqrt{2} $$

Do đó, mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.

Câu 2.
Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Kiểm tra xem $ d_2 $ có đi qua điểm $ A(0;3;0) $ hay không:
Thay tọa độ của điểm $ A(0;3;0) $ vào phương trình tham số của $ d_2 $:
$$ 
x = 2t \
y = -3 - t \
z = 0 
$$
Ta có:
$$ 
0 = 2t \Rightarrow t = 0 \
3 = -3 - t \Rightarrow t = -6 
$$
Như vậy, $ t $ không thể đồng thời bằng 0 và -6, do đó $ d_2 $ không đi qua điểm $ A(0;3;0) $.

b) Kiểm tra xem $ \overrightarrow{u} = (1;2;-3) $ có phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d_1 $ hay không:
Phương trình tham số của $ d_1 $ là:
$$ 
\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{-3}
$$
Điều này có nghĩa là vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \overrightarrow{u} = (1;2;-3) $. Do đó, mệnh đề này đúng.

c) Kiểm tra xem $ d_1 $ có song song với $ d_2 $ hay không:
Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \overrightarrow{u_1} = (1;2;-3) $.
Vectơ chỉ phương của $ d_2 $ là $ \overrightarrow{u_2} = (2;-1;0) $.

Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra:
$$ 
\frac{1}{2} \neq \frac{2}{-1} \neq \frac{-3}{0} 
$$
Như vậy, hai vectơ không tỉ lệ với nhau, do đó $ d_1 $ không song song với $ d_2 $.

d) Kiểm tra xem $ d_1 $ có vuông góc với $ d_2 $ hay không:
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0:
$$ 
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = (1;2;-3) \cdot (2;-1;0) = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0 
$$
Như vậy, $ d_1 $ vuông góc với $ d_2 $.

Kết luận:
Mệnh đề đúng là:
$$ d)~d_1 \text{ vuông góc với } d_2 $$