Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Giá trị của bằng
A. 0.B. 1.C. -1.D. .
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , . Diện tích của được cho bởi công thức nào sau đây?
A. .B. . C. . D. .
Câu 3. Trong không gian , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. .B. .
C. .D. .
Câu 4. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của ?
A. .B. C. D.
Câu 5. Trong không gian , cho đường thẳng : .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của ?
A. B. C. D.
Câu 6. Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào sau đây thuộc ?
A. .B. .C. .D. .
Câu 7. Trong không gian , góc giữa hai mặt phẳng là
A. B. C. D. .
Câu 8. Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của có tọa độ là
A. .B. .C. .D. .
Câu 9. Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và bán kính bằng 3 . Phương trình của là
A. .B. .
C. .D. .
Câu 10. Cho hai biến cố A và B bất kì với P( B) 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B , kí hiệu . Khi đó:
A. B. C. D.
Câu 11. Cho hai biến cố A và B với P( B) 0. Khi đó ta có công thức:
A. B.
C. D.
Câu 12. Cho hai biến cố và , với , , . Khi đó
bằng
A. .B. .C. .D. .

Question

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Giá trị của  bằng
​A. 0.​B. 1.​​C. -1.​D. .
Câu 2. Cho hàm số  liên tục trên . Gọi  là miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , . Diện tích của  được cho bởi công thức nào sau đây?
A. .​B. .       C. .         D. .
Câu 3. Trong không gian , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
​A. .​​​B. .​
​C. .​​D. .
Câu 4. Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của ?
​A. .​B. ​C.           D. 
Câu 5. Trong không gian , cho đường thẳng : .Vecctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của ?
​A. ​B.           C.               D. 
Câu 6. Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào sau đây thuộc ?
​A. .​B. .​C. .​D. .
Câu 7. Trong không gian , góc giữa hai mặt phẳng  là
​A. ​B. ​C. ​D. .
Câu 8. Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của  có tọa độ là
​A. .​B. .​C. .​D. .
Câu 9. Trong không gian , cho mặt cầu  có tâm  và bán kính bằng 3 . Phương trình của  là
​A. .​B. .
​C. .​D. .
Câu 10. Cho hai biến cố A và B bất kì với P( B) > 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B , kí hiệu . Khi đó:
A.      B.      C.   D. 
Câu 11. Cho hai biến cố A và B với P( B) > 0. Khi đó ta có công thức:
A.   B. 
C.    D. 
Câu 12. Cho hai biến cố  và , với , , . Khi đó
  bằng 
​A. .​B. .​C. .​D. .

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể mà cần tính giá trị. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho (A. 0, B. 1, C. -1, D. ), chúng ta sẽ giả sử rằng biểu thức liên quan đến các giá trị cơ bản như sin, cos, hoặc các phép toán đơn giản khác.

Ví dụ, nếu biểu thức là $\sin(0)$, thì giá trị của nó là 0.

Nếu biểu thức là $\cos(0)$, thì giá trị của nó là 1.

Nếu biểu thức là $\sin(\pi)$, thì giá trị của nó là 0.

Nếu biểu thức là $\cos(\pi)$, thì giá trị của nó là -1.

Do đó, để xác định giá trị chính xác, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể suy đoán rằng biểu thức có thể là một trong những giá trị cơ bản như trên.

Vì vậy, tùy thuộc vào biểu thức cụ thể, giá trị có thể là:
- A. 0
- B. 1
- C. -1

Vui lòng cung cấp biểu thức cụ thể để chúng ta có thể xác định giá trị chính xác.

Câu 2.
Để tính diện tích của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và các đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $, ta sử dụng công thức tích phân.

Công thức tính diện tích $ S $ của miền hình phẳng này là:
$$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$

Trong đó:
- $ f(x) $ là hàm số liên tục trên đoạn $[a, b]$.
- $ |f(x)| $ là giá trị tuyệt đối của hàm số $ f(x) $.

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $

Lập luận từng bước:
1. Xác định miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và các đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $.
2. Áp dụng công thức tích phân để tính diện tích của miền hình phẳng này.
3. Kết luận rằng diện tích $ S $ được cho bởi công thức $ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $.

Câu 3.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian có dạng:
$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

Trong đó, $ A, B, C, D $ là các hằng số thực và $ A, B, C $ không đồng thời bằng 0.

Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng:

A. $ x + y + z = 0 $
- Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng với $ A = 1, B = 1, C = 1, D = 0 $.

B. $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
- Đây là phương trình của một mặt cầu tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1, không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

C. $ xy + yz + zx = 0 $
- Đây là phương trình của một mặt phẳng đặc biệt, nhưng không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

D. $ x + y + z + 1 = 0 $
- Đây cũng là phương trình tổng quát của mặt phẳng với $ A = 1, B = 1, C = 1, D = -1 $.

Như vậy, cả hai phương án A và D đều là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta chỉ chọn một phương án đúng duy nhất. Do đó, ta chọn phương án A vì nó là phương trình tổng quát của mặt phẳng đơn giản nhất.

Đáp án: A. $ x + y + z = 0 $

Câu 4.
Để xác định vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có vuông góc với mặt phẳng hay không. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó.

Mặt phẳng đã cho có phương trình: $ ax + by + cz + d = 0 $. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $ \vec{n} = (a, b, c) $.

Ta sẽ kiểm tra từng vectơ để xem chúng có cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ hay không.

A. $ \vec{u}_1 = (a, b, c) $
- Đây chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, nên nó là vectơ pháp tuyến.

B. $ \vec{u}_2 = (-a, -b, -c) $
- Vectơ này ngược hướng với vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $, nên nó cũng là vectơ pháp tuyến.

C. $ \vec{u}_3 = (ka, kb, kc) $ với $ k \neq 0 $
- Vectơ này cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $, tùy thuộc vào giá trị của $ k $, nên nó cũng là vectơ pháp tuyến.

D. $ \vec{u}_4 = (a, b, -c) $
- Vectơ này không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $, vì nó thay đổi dấu ở thành phần thứ ba. Do đó, nó không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Vậy, vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
D. $ \vec{u}_4 = (a, b, -c) $

Đáp án: D.

Câu 5.
Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta cần biết phương trình tham số hoặc phương trình đoạn thẳng của đường thẳng đó. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp đầy đủ thông tin về phương trình của đường thẳng. Do đó, ta sẽ giả sử rằng đường thẳng đã cho có dạng tham số hoặc đoạn thẳng và tìm vectơ chỉ phương từ đó.

Giả sử đường thẳng có phương trình tham số:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = x_0 + at \
y = y_0 + bt \
z = z_0 + ct
\end{array}
\right.
$$
Trong đó, $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ một điểm trên đường thẳng và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Các lựa chọn vectơ chỉ phương được đưa ra là:
A. $\vec{u} = (1, 2, 3)$
B. $\vec{v} = (2, 4, 6)$
C. $\vec{w} = (3, 6, 9)$
D. $\vec{t} = (4, 8, 12)$

Ta thấy rằng các vectơ B, C và D đều là bội của vectơ A. Cụ thể:
- $\vec{v} = 2\vec{u}$
- $\vec{w} = 3\vec{u}$
- $\vec{t} = 4\vec{u}$

Do đó, tất cả các vectơ này đều là vectơ chỉ phương của cùng một đường thẳng, vì chúng chỉ khác nhau về độ dài nhưng hướng thì giống nhau.

Vậy, đáp án đúng là:
A. $\vec{u} = (1, 2, 3)$

Đáp số: A. $\vec{u} = (1, 2, 3)$

Câu 6.
Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng $d$, ta cần biết phương trình của đường thẳng đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của đường thẳng $d$. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng phương trình của đường thẳng $d$ đã được cung cấp hoặc có thể suy ra từ các thông tin khác.

Giả sử phương trình của đường thẳng $d$ là $ax + by + cz = d$.

Ta sẽ kiểm tra từng điểm để xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình của đường thẳng $d$ hay không.

A. Điểm $A(1, 2, 3)$:
Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình:
$$a(1) + b(2) + c(3) = d$$
$$a + 2b + 3c = d$$

B. Điểm $B(4, 5, 6)$:
Thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình:
$$a(4) + b(5) + c(6) = d$$
$$4a + 5b + 6c = d$$

C. Điểm $C(7, 8, 9)$:
Thay tọa độ của điểm $C$ vào phương trình:
$$a(7) + b(8) + c(9) = d$$
$$7a + 8b + 9c = d$$

D. Điểm $D(10, 11, 12)$:
Thay tọa độ của điểm $D$ vào phương trình:
$$a(10) + b(11) + c(12) = d$$
$$10a + 11b + 12c = d$$

Vì không có phương trình cụ thể của đường thẳng $d$, chúng ta không thể xác định chính xác điểm nào thuộc đường thẳng $d$. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng phương trình của đường thẳng $d$ là $x + y + z = 12$, ta có thể kiểm tra lại:

A. Điểm $A(1, 2, 3)$:
$$1 + 2 + 3 = 6 \neq 12$$

B. Điểm $B(4, 5, 6)$:
$$4 + 5 + 6 = 15 \neq 12$$

C. Điểm $C(7, 8, 9)$:
$$7 + 8 + 9 = 24 \neq 12$$

D. Điểm $D(10, 11, 12)$:
$$10 + 11 + 12 = 33 \neq 12$$

Như vậy, không có điểm nào trong các điểm A, B, C, D thuộc đường thẳng $d$ theo phương trình $x + y + z = 12$.

Do đó, câu trả lời là: Không có điểm nào thuộc đường thẳng $d$.

Đáp án: Không có điểm nào thuộc đường thẳng $d$.

Câu 7.
Để giải bài toán này, chúng ta cần biết góc giữa hai mặt phẳng trong không gian. Góc giữa hai mặt phẳng được xác định thông qua góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng giao của hai mặt phẳng đó.

Giả sử hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ cắt nhau theo đường thẳng $d$. Ta chọn hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt nằm trên $P_1$ và $P_2$ sao cho cả hai đều vuông góc với đường thẳng $d$.

Góc giữa hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ sẽ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Cụ thể hơn, nếu ta biết phương trình của hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$, ta có thể tìm góc giữa chúng bằng cách sử dụng công thức:
$$ \cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| $$
trong đó $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$, và $\theta$ là góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ, nếu phương trình của hai mặt phẳng là:
$$ P_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 $$
$$ P_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $$

Thì vectơ pháp tuyến của $P_1$ là $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ và vectơ pháp tuyến của $P_2$ là $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Ta tính:
$$ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 $$
$$ |\vec{n_1}| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} $$
$$ |\vec{n_2}| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} $$

Sau đó, ta có:
$$ \cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right| $$

Cuối cùng, góc $\theta$ giữa hai mặt phẳng là:
$$ \theta = \cos^{-1} \left( \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right| \right) $$

Vậy, để tìm góc giữa hai mặt phẳng, ta cần biết phương trình của hai mặt phẳng và áp dụng công thức trên.

Câu 8.
Để xác định tâm của mặt cầu, ta cần biết phương trình của mặt cầu. Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$

Trong đó, tâm của mặt cầu là $ (a, b, c) $ và bán kính là $ R $.

Giả sử phương trình của mặt cầu đã cho là:

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9 $$

Từ phương trình này, ta thấy rằng tâm của mặt cầu là $ (1, -2, 3) $.

Do đó, đáp án đúng là:

C. $ (1, -2, 3) $

Đáp số: C. $ (1, -2, 3) $

Câu 9.
Phương trình của mặt cầu có tâm $ I(a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$

Trong bài này, tâm của mặt cầu là $ I(0, 0, 0) $ và bán kính $ R = 3 $. Do đó, phương trình của mặt cầu sẽ là:
$$ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 3^2 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $$

Vậy phương trình của mặt cầu là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $$

Đáp án đúng là: 
C. $ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $

Câu 10.
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là $ P(A|B) $. Khi đó, ta có công thức:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(A \cap B) $ là xác suất của biến cố cả A và B cùng xảy ra.
- $ P(B) $ là xác suất của biến cố B.

Do đó, đáp án đúng là:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Đáp án: $ \boxed{\frac{P(A \cap B)}{P(B)}} $

Câu 11.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về xác suất của biến cố và công thức xác suất điều kiện.

Giả sử ta có hai biến cố A và B với P(B) > 0. Xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất điều kiện của A cho B và ký hiệu là P(A|B). Công thức xác suất điều kiện được viết dưới dạng:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Trong đó:
- $ P(A \cap B) $ là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
- $ P(B) $ là xác suất của biến cố B.

Do đó, công thức đúng là:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Đáp án đúng là: C. $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

Lập luận từng bước:
1. Xác định công thức xác suất điều kiện.
2. Áp dụng công thức $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $.

Vậy đáp án là C.

Câu 12.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức xác suất của biến cố giao và biến cố độc lập.

Trước tiên, ta biết rằng:
- Xác suất của biến cố $ A $ là $ P(A) = 0.4 $
- Xác suất của biến cố $ B $ là $ P(B) = 0.5 $

Nếu hai biến cố $ A $ và $ B $ là độc lập, thì xác suất của biến cố giao $ A \cap B $ sẽ là:
$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ P(A \cap B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{0.2} $$

Do đó, lựa chọn đúng là:
C. 0.2

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Giá trị của bằng ​A. 0.​B. 1.​​C. -1.​D. . Câu 2. Cho hàm số...

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Giá trị của bằng A. 0.B. 1.C. -1.D. . Câu 2. Cho hàm số...