Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $d.~\frac1{1.2}+\frac1{2.3}+...+\frac1{2004.2005}

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $d.~\frac1{1.2}+\frac1{2.3}+...+\frac1{2004.2005}<1$,$e.~\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...+\frac1{2005^2}<1$,$f.~\frac15+\frac1{14}+\frac1{28}+\frac1{44}+\frac1{61}+\frac1{85}<\frac12$,$8.~Cho~A=\frac1{100};B=\frac12.\frac34.\frac56...\frac{9999}{10000}.$ So sánh A và B.,9. So sánh $\frac12$ với S, biết: $S=\frac1{51}+\frac1{52}+\frac1{53}+...+\frac1{99}+\frac1{100}$,$10.~Cho~A=40+\frac38+\frac7{8^2}+\frac5{8^3}+\frac{32}{8^5};B=\frac{24}{8^2}+40+\frac5{8^2}+\frac{40}{8^4}+\frac5{8^4}.$,So sánh A và B.,11. Cho: $C=4+\frac1{7^6}+\frac37+\frac4{7^2}+\frac{-441}{7^6}+\frac{27}{7^5}$,$D=\frac{147}{7^3}+4+\frac{35}{7^7}+\frac4{7^2}+\frac{27}{7^5}+\frac{-9}{7^9}$,Hãy so sánh C với D.,12. So sánh $\frac{-27272727}{41414141}$ với $\frac{-270}{410}$,13. Cho $a,b,c\in\mathbb N^*.$ Chứng tỏ rằng:,$a.~\frac a{a+b}+\frac b{b+c}+\frac c{c+a}>1$ $b.~\frac b{a+b}+\frac c{b+c}+\frac a{c+a}>1$,$c.~\frac a{a+b}+\frac b{b+c}+\frac c{c+a}<2$,Bài 482 hứnn ỏỏ rằng:,$1.~1.3.5.7...99=\frac{51}2.\frac{52}2...\frac{100}2$,$2.~1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1989}-\frac1{1990}=\frac1{996}+\frac1{997}+...+\frac1{1990}$,150

Accepted Answer

{"userId":5377222,"userName":"Gia Hân Tạ"}Câu 8. Cho A=1001+1011+...+1991 và B=2⋅11+3⋅21+4⋅31+...+100⋅991. So sánh A và B.

Phân tích B: Ta có n(n−1)1=n−11−n1. Áp dụng vào B: B=(11−21)+(21−31)+(31−41)+...+(991−1001) B=1−1001=10099
Phân tích A: A là tổng của 100 số hạng, mỗi số hạng đều lớn hơn 1991 và nhỏ hơn 1001. Vậy 199100
So sánh: Ta có 10099=0.99 và 199100≈0.5025. Vì 0.5025A và B không thể so sánh trực tiếp chỉ với thông tin này về độ lớn. Tuy nhiên, ta có thể thấy các số hạng của A nhỏ hơn 1 và có nhiều số hạng. Các số hạng của B giảm dần và tổng của chúng là 0.99.

Câu 9. Với S=511+521+...+991+1001. So sánh S với 21.

S có 100−51+1=50 số hạng.
Mỗi số hạng của S đều lớn hơn 1001.
Vậy S>50⋅1001=10050=21.
Kết luận: S>21.

Câu 10. Cho A=8240+833+847 và B=8240+835+842. So sánh A và B.

Cả A và B đều có số hạng đầu tiên là 8240.
Ta chỉ cần so sánh phần còn lại: 833+847 và 835+842.
Quy đồng mẫu số (là 84): 843⋅8+847=8424+7=8431 845⋅8+842=8440+2=8442
Vì 8431<8442 nên A.

Câu 11. Cho C=4+71+723+734−74441+7527 và D=73147+7435+724+7527−769. Hãy so sánh C với D.

Để so sánh C và D, ta sẽ trừ D cho C: C−D=(4+71+723+734−74441+7527)−(73147+7435+724+7527−769) C−D=4+71+(723−724)+(734−73147)+(−74441−7435)+(7527−7527)+769 C−D=4+71−721−73143−74476+0+769
Việc so sánh trực tiếp giá trị này với 0 khá phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể ước lượng: C≈4+0.14+0.06+0.01−0.18+0.00...≈4.03 D=343147+240135+494+1680727−1176499 D≈0.43+0.01+0.08+0.001−0.00007≈0.52
Với ước lượng này, có vẻ như C>D. Tuy nhiên, để có kết luận chính xác cần tính toán cẩn thận hơn hoặc tìm cách so sánh khác.

Câu 12. So sánh 414141−272727 với 410−270.

Rút gọn phân số thứ nhất: 414141−272727=41⋅10101−27⋅10101=41−27
Rút gọn phân số thứ hai: 410−270=41−27
Kết luận: 414141−272727=410−270.

Câu 13. Cho a,b,c∈N∗. Chứng tỏ rằng:

a) a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc>1

Ta có a+b+c>a, b+c+a>b, c+a+b>c (vì a,b,c là các số tự nhiên dương).
Suy ra a+b+ca
Tương tự, b+c+ab<1 và c+a+bc<1.
Vậy, khẳng định a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc>1 là SAI.

b) a+ba+b+cb+c+ac>1

Ta có a+ba>a+b+ca
b+cb>a+b+cb
c+ac>a+b+cc
Suy ra a+ba+b+cb+c+ac>a+b+ca+b+c=1.
Vậy, khẳng định a+ba+b+cb+c+ac>1 là ĐÚNG.

c) a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc<2

Ta có a+b+ca<1
b+c+ab<1
c+a+bc<1
Suy ra a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc<1+1+1=3.
Tuy nhiên, vì a,b,c là số tự nhiên dương, nên mỗi phân số đều dương và nhỏ hơn 1. Tổng của ba phân số này chắc chắn nhỏ hơn 2.
Vậy, khẳng định a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc<2 là ĐÚNG.