Hhahahshsjsjajanahzbz iếp và Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot(ABC),~AB=AC=1,~\widehat{BAC}=120^0,$,của BC , biết số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ gọi điểm M là trung điểm,bằng $30^0~độ.$ Gọi V là thể tích khối chóp S.ABC . Giá trị,của 12.V bằng bao nhiêu?,Đáp số.. $1~cm^2;0=\frac{5A}4$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích đáy ABC.
2. Tìm chiều cao SA của chóp S.ABC.
3. Tính thể tích V của chóp S.ABC.
4. Nhân thể tích V với 12 để tìm giá trị của 12.V.

Bước 1: Xác định diện tích đáy ABC

Trong tam giác ABC, ta có:
- AB = AC = 1
- $\widehat{BAC} = 120^\circ$

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) $$

Thay các giá trị vào:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) $$
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

Bước 2: Tìm chiều cao SA của chóp S.ABC

Gọi M là trung điểm của BC. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SA và AM. Biết rằng góc nhị diện [S,BC,A] là 30°, ta có:
$$ \tan(30^\circ) = \frac{SA}{AM} $$

Trong tam giác ABC, ta tính AM bằng cách sử dụng công thức tính đường trung tuyến:
$$ AM = \sqrt{AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2}} $$

Ta cần tính BC trước:
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) $$
$$ BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) $$
$$ BC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) $$
$$ BC^2 = 1 + 1 + 1 $$
$$ BC^2 = 3 $$
$$ BC = \sqrt{3} $$

Bây giờ tính AM:
$$ AM = \sqrt{1^2 + 1^2 - \frac{(\sqrt{3})^2}{2}} $$
$$ AM = \sqrt{1 + 1 - \frac{3}{2}} $$
$$ AM = \sqrt{2 - \frac{3}{2}} $$
$$ AM = \sqrt{\frac{1}{2}} $$
$$ AM = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Vì $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, ta có:
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{SA}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$
$$ SA = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $$
$$ SA = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $$
$$ SA = \frac{\sqrt{6}}{6} $$

Bước 3: Tính thể tích V của chóp S.ABC

Thể tích V của chóp S.ABC được tính bằng công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA $$

Thay các giá trị vào:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} $$
$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{24} $$
$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{18}}{24} $$
$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{24} $$
$$ V = \frac{\sqrt{2}}{24} $$

Bước 4: Nhân thể tích V với 12 để tìm giá trị của 12.V

$$ 12.V = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} $$
$$ 12.V = \frac{12\sqrt{2}}{24} $$
$$ 12.V = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Đáp số: $\frac{\sqrt{2}}{2}$