giúo tôi với Câu5..Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}2=\frac{z-1}2,$,$(P):~x+2y-2z-2=0,(Q):~x+2y-2z+4=0.$ Gọi mặt cầu S(I,R) có tâm I,thuộc $\Delta$ và tiếp xúc với $(P),(Q).$ Khi đó đường kính của mặt cầu có giá trị bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu5..
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm I của mặt cầu:
   - Tâm I thuộc đường thẳng $\Delta$, do đó ta có thể viết tọa độ của I dưới dạng $(2 - 3t, 1 + 2t, 1 + 2t)$, trong đó $t$ là tham số.

2. Tìm bán kính R của mặt cầu:
   - Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, do đó khoảng cách từ tâm I đến mỗi mặt phẳng này sẽ bằng bán kính R.

3. Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $(P)$:
   - Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
     $$
     d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
     $$
   - Áp dụng vào mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z - 2 = 0$ và tâm I $(2 - 3t, 1 + 2t, 1 + 2t)$:
     $$
     R = \frac{|(2 - 3t) + 2(1 + 2t) - 2(1 + 2t) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-3t|}{3} = |t|
     $$

4. Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $(Q)$:
   - Áp dụng vào mặt phẳng $(Q): x + 2y - 2z + 4 = 0$ và tâm I $(2 - 3t, 1 + 2t, 1 + 2t)$:
     $$
     R = \frac{|(2 - 3t) + 2(1 + 2t) - 2(1 + 2t) + 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-3t + 6|}{3} = |-t + 2|
     $$

5. Bằng nhau hai khoảng cách:
   - Vì cả hai khoảng cách đều bằng bán kính R, ta có:
     $$
     |t| = |-t + 2|
     $$
   - Xét hai trường hợp:
     - Nếu $t \geq 0$: $t = -t + 2 \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1$
     - Nếu $t < 0$: $-t = -t + 2 \Rightarrow 0 = 2$ (không thỏa mãn)

6. Tìm bán kính R:
   - Với $t = 1$, ta có:
     $$
     R = |1| = 1
     $$

7. Tìm đường kính của mặt cầu:
   - Đường kính của mặt cầu là $2R = 2 \times 1 = 2$

Vậy đường kính của mặt cầu là $\boxed{2}$.