Trả lời ngắn ạ Câu 15: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x,$ biết $F(0)=1.$ Tính $F(\frac\pi2).~2$,Câu 16:Cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y2=\frac z{-1}$ và mặt phẳng $(P):~2x+y+z-1=0.$ Tính góc giữa,đường thẳng A và mặt phẳng (I $(P)?30^0C$,Câu 17: Cho hai biến cố A và B, với $P(B)=0,7,~P(A|B)=0,5,~P(A|\overline B)=0,35.$ Tính $P(A).0,455$,Câu 18.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),$,$D(1;-1;3).$ Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M,lần lượt là $AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$ Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao,nhiêu? $\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=2+3t\end{array} ight.+\in\mathbb R.P(A)$

Question

Trả lời ngắn ạ Câu 15: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x,$ biết $F(0)=1.$ Tính $F(\frac\pi2).~2$,Câu 16:Cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y2=\frac z{-1}$ và mặt phẳng $(P):~2x+y+z-1=0.$ Tính góc giữa,đường thẳng A và mặt phẳng (I $(P)?30^0C$,Câu 17: Cho hai biến cố A và B, với $P(B)=0,7,~P(A|B)=0,5,~P(A|\overline B)=0,35.$ Tính $P(A).0,455$,Câu 18.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),$,$D(1;-1;3).$ Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M,lần lượt là $AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$ Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao,nhiêu? $\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=2+3t\end{array}ight.+\in\mathbb R.P(A)$

Accepted Answer

Câu 15:
Để tìm $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = \cos x$.
Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x + C$, trong đó $C$ là hằng số.

Do đó, ta có:
$$ F(x) = \sin x + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(0) = 1$.
Thay $x = 0$ vào $F(x)$:
$$ F(0) = \sin 0 + C = 0 + C = C $$
Theo đề bài, $F(0) = 1$, nên ta có:
$$ C = 1 $$

Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã xác định.
$$ F(x) = \sin x + 1 $$

Bước 4: Tính $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào $F(x)$:
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 $$

Vậy, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$.

Câu 16:
Để tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}
   $$
   Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   \vec{u} = (1, 2, -1)
   $$

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình:
   $$
   2x + y + z - 1 = 0
   $$
   Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
   $$
   \vec{n} = (2, 1, 1)
   $$

3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$:
   Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có công thức:
   $$
   \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
   $$
   Trong đó:
   - $\vec{u} \cdot \vec{n}$ là tích vô hướng của hai vectơ.
   - $|\vec{u}|$ và $|\vec{n}|$ là độ dài của hai vectơ.

Tính tích vô hướng:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 + 2 - 1 = 3
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
   $$

Thay vào công thức:
   $$
   \sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
   $$

Vậy:
   $$
   \theta = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = 30^\circ
   $$

Đáp số: Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là $30^\circ$.

Câu 17:
Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp:

$$ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) $$

Trước tiên, ta cần biết xác suất của biến cố $\overline{B}$, tức là biến cố B không xảy ra:

$$ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3 $$

Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức xác suất tổng hợp:

$$ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) $$
$$ P(A) = 0,5 \cdot 0,7 + 0,35 \cdot 0,3 $$

Ta thực hiện phép nhân và cộng:

$$ P(A) = 0,5 \cdot 0,7 + 0,35 \cdot 0,3 $$
$$ P(A) = 0,35 + 0,105 $$
$$ P(A) = 0,455 $$

Vậy xác suất của biến cố A là:

$$ P(A) = 0,455 $$

Câu 18.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ M(a, b, c) $ đến điểm $ O(0,0,0) $, ta sẽ sử dụng các thông tin về khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm $ M $.

1. Tính khoảng cách từ $ A(0,4,5) $ đến $ M(a,b,c) $:
$$ AM = \sqrt{(a-0)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2} = 5 $$
$$ a^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 25 $$

2. Tính khoảng cách từ $ B(0,5,4) $ đến $ M(a,b,c) $:
$$ BM = \sqrt{(a-0)^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2} = 5 $$
$$ a^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2 = 25 $$

3. Tính khoảng cách từ $ C(1,3,3) $ đến $ M(a,b,c) $:
$$ CM = \sqrt{(a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2} = 3 $$
$$ (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2 = 9 $$

4. Tính khoảng cách từ $ D(1,-1,3) $ đến $ M(a,b,c) $:
$$ DM = \sqrt{(a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-3)^2} = 3 $$
$$ (a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-3)^2 = 9 $$

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm $ a, b, c $.

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai:
$$ a^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 25 $$
$$ a^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2 = 25 $$

Phương trình thứ ba và thứ tư:
$$ (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2 = 9 $$
$$ (a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-3)^2 = 9 $$

Ta thấy rằng $ (a-1)^2 + (c-3)^2 $ xuất hiện ở cả hai phương trình cuối cùng, do đó:
$$ (b-3)^2 = (b+1)^2 $$
$$ b - 3 = -(b + 1) $$
$$ b - 3 = -b - 1 $$
$$ 2b = 2 $$
$$ b = 1 $$

Thay $ b = 1 $ vào phương trình thứ ba:
$$ (a-1)^2 + (1-3)^2 + (c-3)^2 = 9 $$
$$ (a-1)^2 + 4 + (c-3)^2 = 9 $$
$$ (a-1)^2 + (c-3)^2 = 5 $$

Thay $ b = 1 $ vào phương trình thứ tư:
$$ (a-1)^2 + (1+1)^2 + (c-3)^2 = 9 $$
$$ (a-1)^2 + 4 + (c-3)^2 = 9 $$
$$ (a-1)^2 + (c-3)^2 = 5 $$

Bây giờ, ta thay $ b = 1 $ vào phương trình thứ nhất:
$$ a^2 + (1-4)^2 + (c-5)^2 = 25 $$
$$ a^2 + 9 + (c-5)^2 = 25 $$
$$ a^2 + (c-5)^2 = 16 $$

Từ đây, ta có hai phương trình:
$$ (a-1)^2 + (c-3)^2 = 5 $$
$$ a^2 + (c-5)^2 = 16 $$

Giải hệ phương trình này:
$$ a^2 + (c-5)^2 = 16 $$
$$ a^2 + c^2 - 10c + 25 = 16 $$
$$ a^2 + c^2 - 10c = -9 $$

$$ (a-1)^2 + (c-3)^2 = 5 $$
$$ a^2 - 2a + 1 + c^2 - 6c + 9 = 5 $$
$$ a^2 + c^2 - 2a - 6c + 10 = 5 $$
$$ a^2 + c^2 - 2a - 6c = -5 $$

Bây giờ, ta trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$ (a^2 + c^2 - 10c) - (a^2 + c^2 - 2a - 6c) = -9 - (-5) $$
$$ -10c + 2a + 6c = -4 $$
$$ 2a - 4c = -4 $$
$$ a - 2c = -2 $$
$$ a = 2c - 2 $$

Thay $ a = 2c - 2 $ vào phương trình $ a^2 + c^2 - 10c = -9 $:
$$ (2c - 2)^2 + c^2 - 10c = -9 $$
$$ 4c^2 - 8c + 4 + c^2 - 10c = -9 $$
$$ 5c^2 - 18c + 4 = -9 $$
$$ 5c^2 - 18c + 13 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ c = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13}}{2 \cdot 5} $$
$$ c = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 260}}{10} $$
$$ c = \frac{18 \pm \sqrt{64}}{10} $$
$$ c = \frac{18 \pm 8}{10} $$
$$ c = \frac{26}{10} = 2.6 \quad \text{hoặc} \quad c = \frac{10}{10} = 1 $$

Nếu $ c = 2.6 $:
$$ a = 2 \cdot 2.6 - 2 = 3.2 $$

Nếu $ c = 1 $:
$$ a = 2 \cdot 1 - 2 = 0 $$

Do đó, ta có hai trường hợp:
1. $ a = 3.2, b = 1, c = 2.6 $
2. $ a = 0, b = 1, c = 1 $

Tính khoảng cách từ điểm $ M $ đến điểm $ O $:
1. $ OM = \sqrt{(3.2)^2 + 1^2 + (2.6)^2} = \sqrt{10.24 + 1 + 6.76} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
2. $ OM = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $

Vậy khoảng cách từ điểm $ M $ đến điểm $ O $ là $ \sqrt{2} $ hoặc $ 3\sqrt{2} $.