Trả lời ngắn ạ mng cứu e với Câu 18.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),$,$D(1;-1;3).$ Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M,lần lượt là $AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$ Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao,nhiêu? $\left\{\begin{array}lx=1+2+\x=1+3+t\in\mathbb R.~P(A)\end{array} ight.$

Question

Trả lời ngắn ạ mng cứu e với Câu 18.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),~B(0;5;4),~C(1;3;3),$,$D(1;-1;3).$ Điểm $M(a;b;c)$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M,lần lượt là $AM=5,~BM=5,~CM=3,~DM=3.$ Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao,nhiêu? $\left\{\begin{array}lx=1+2+\x=1+3+t\in\mathbb R.~P(A)\end{array}ight.$

Accepted Answer

Câu 18.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ M(a, b, c) $ đến điểm $ O(0, 0, 0) $, ta sẽ sử dụng các thông tin về khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm $ M $.

1. Tìm tọa độ của điểm $ M $:
   - Ta có $ AM = 5 $:
     $$
     \sqrt{(a-0)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2} = 5
     $$
     $$
     a^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 25 \quad \text{(1)}
     $$

- Ta có $ BM = 5 $:
     $$
     \sqrt{(a-0)^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2} = 5
     $$
     $$
     a^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2 = 25 \quad \text{(2)}
     $$

- Ta có $ CM = 3 $:
     $$
     \sqrt{(a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2} = 3
     $$
     $$
     (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2 = 9 \quad \text{(3)}
     $$

- Ta có $ DM = 3 $:
     $$
     \sqrt{(a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-3)^2} = 3
     $$
     $$
     (a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-3)^2 = 9 \quad \text{(4)}
     $$

2. Giải hệ phương trình:
   - Từ (1) và (2):
     $$
     a^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = a^2 + (b-5)^2 + (c-4)^2
     $$
     $$
     (b-4)^2 + (c-5)^2 = (b-5)^2 + (c-4)^2
     $$
     $$
     b^2 - 8b + 16 + c^2 - 10c + 25 = b^2 - 10b + 25 + c^2 - 8c + 16
     $$
     $$
     -8b - 10c + 41 = -10b - 8c + 41
     $$
     $$
     2b = 2c \quad \Rightarrow \quad b = c
     $$

- Thay $ b = c $ vào (3) và (4):
     $$
     (a-1)^2 + (b-3)^2 + (b-3)^2 = 9
     $$
     $$
     (a-1)^2 + 2(b-3)^2 = 9 \quad \text{(5)}
     $$
     $$
     (a-1)^2 + (b+1)^2 + (b-3)^2 = 9
     $$
     $$
     (a-1)^2 + (b+1)^2 + (b-3)^2 = 9 \quad \text{(6)}
     $$

- Từ (5) và (6):
     $$
     2(b-3)^2 = (b+1)^2 + (b-3)^2
     $$
     $$
     (b-3)^2 = (b+1)^2
     $$
     $$
     b-3 = b+1 \quad \text{hoặc} \quad b-3 = -(b+1)
     $$
     $$
     b-3 = b+1 \quad \Rightarrow \quad \text{không có nghiệm}
     $$
     $$
     b-3 = -b-1 \quad \Rightarrow \quad 2b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 1
     $$
     $$
     b = 1 \quad \Rightarrow \quad c = 1
     $$

- Thay $ b = 1 $ và $ c = 1 $ vào (5):
     $$
     (a-1)^2 + 2(1-3)^2 = 9
     $$
     $$
     (a-1)^2 + 2 \cdot 4 = 9
     $$
     $$
     (a-1)^2 + 8 = 9
     $$
     $$
     (a-1)^2 = 1
     $$
     $$
     a-1 = 1 \quad \text{hoặc} \quad a-1 = -1
     $$
     $$
     a = 2 \quad \text{hoặc} \quad a = 0
     $$

3. Kiểm tra các giá trị:
   - Nếu $ a = 2 $, $ b = 1 $, $ c = 1 $:
     $$
     AM = \sqrt{(2-0)^2 + (1-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \neq 5
     $$
     $$
     BM = \sqrt{(2-0)^2 + (1-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \neq 5
     $$
     $$
     CM = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
     $$
     $$
     DM = \sqrt{(2-1)^2 + (1+1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
     $$
     $$
     \text{Không thỏa mãn}
     $$

- Nếu $ a = 0 $, $ b = 1 $, $ c = 1 $:
     $$
     AM = \sqrt{(0-0)^2 + (1-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5
     $$
     $$
     BM = \sqrt{(0-0)^2 + (1-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5
     $$
     $$
     CM = \sqrt{(0-1)^2 + (1-3)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
     $$
     $$
     DM = \sqrt{(0-1)^2 + (1+1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
     $$
     $$
     \text{Thỏa mãn}
     $$

4. Khoảng cách từ điểm $ M $ đến điểm $ O $:
   $$
   OM = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}
   $$

Đáp số: $ \sqrt{2} $