giải chi tiết không cần nhiều chữ Trả lời:,PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.,Câu 1. Tính tích phân $\int^{\frac\pi2}_0\cos xdx$,Câu 2. Một hệ thống cảm biến được đặt tại điểm $A(2,-1,3)$ để theo dõi khoảng cách tới một vật,thể chuyển động trong không gian. Khi vật thể nằm cách cảm biến một khoảng cách,không quá 5 đơn vị độ dài, hệ thống sẽ tự động kích hoạt cảnh báo.,a) Hãy viết phương trình mặt cầu biểu diễn tập hợp các vị trí của vật thể sao cho khoảng,cách từ vật thể đến cảm biến đúng bằng 5 đơn vị độ dài.,b) Kiểm tra xem vật thể ở vị trí $B(5;3;6)$ có nằm trong vùng cảnh báo không?,c) Giả sử có một vật thể chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm $C(2,-1,-2)$ và,$D(2,-1,8).$ Hãy xác định các vị trí mà vật thể cách điểm đặt cảm biến $A(2,-1,3)$ đúng 5,mét,Hết,3

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính tích phân $\int^{\frac\pi2}_0\cos xdx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos x$.
Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Do đó:
$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định.
$$\int^{\frac\pi2}_0 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]^{\frac\pi2}_0$$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm.
$$= \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0)$$

Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức.
$$= 1 - 0 = 1$$

Vậy, tích phân $\int^{\frac\pi2}_0 \cos x \, dx = 1$.

Đáp số: $\int^{\frac\pi2}_0 \cos x \, dx = 1$.

Câu 2.
a) Phương trình mặt cầu biểu diễn tập hợp các vị trí của vật thể sao cho khoảng cách từ vật thể đến cảm biến đúng bằng 5 đơn vị độ dài là:
$$
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25
$$

b) Để kiểm tra xem vật thể ở vị trí $B(5;3;6)$ có nằm trong vùng cảnh báo không, ta tính khoảng cách từ điểm $B$ đến điểm $A$:
$$
AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 + 1)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34}
$$
Vì $\sqrt{34} > 5$, nên vật thể ở vị trí $B(5;3;6)$ không nằm trong vùng cảnh báo.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm $C(2,-1,-2)$ và $D(2,-1,8)$ có phương vector là $\vec{CD} = (0, 0, 10)$. Do đó, đường thẳng này song song với trục Oz và có phương trình tham số:
$$
x = 2, \quad y = -1, \quad z = t
$$
Trong đó, $t$ là tham số.

Để xác định các vị trí mà vật thể cách điểm đặt cảm biến $A(2,-1,3)$ đúng 5 mét, ta thay $x = 2$, $y = -1$, và $z = t$ vào phương trình mặt cầu:
$$
(2 - 2)^2 + (-1 + 1)^2 + (t - 3)^2 = 25
$$
$$
(t - 3)^2 = 25
$$
$$
t - 3 = \pm 5
$$
$$
t = 8 \quad \text{hoặc} \quad t = -2
$$

Vậy các vị trí mà vật thể cách điểm đặt cảm biến $A(2,-1,3)$ đúng 5 mét là $(2, -1, 8)$ và $(2, -1, -2)$.