Hình chóp S.ABCD đều, đáy là hình vuông cạnh 3a

SO = 4a chiều cao từ S đến mặt đáy

Tâm đáy O là trung điểm của AC và
BD
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b, tính d(B(SAC))
c, tính sin[S,CD,O]

Question

Hình chóp S.ABCD đều, đáy là hình vuông cạnh 3a

SO = 4a chiều cao từ S đến mặt đáy

Tâm đáy O là trung điểm của AC và
 BD
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b, tính d(B(SAC))
c, tính sin[S,CD,O]

Accepted Answer

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Diện tích đáy ABCD là:
$$ S_{ABCD} = 3a \times 3a = 9a^2 $$

Chiều cao SO = 4a

Thể tích khối chóp S.ABCD là:
$$ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 9a^2 \times 4a = 12a^3 $$

b. Tính khoảng cách từ B đến mặt SAC

Trước tiên, ta tính diện tích tam giác SAC:
$$ SA = SC = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = 5a $$
$$ AC = 3a\sqrt{2} $$

Diện tích tam giác SAC là:
$$ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SO = \frac{1}{2} \times 3a\sqrt{2} \times 4a = 6a^2\sqrt{2} $$

Diện tích tam giác SAB là:
$$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SO = \frac{1}{2} \times 3a \times 4a = 6a^2 $$

Khoảng cách từ B đến mặt SAC là:
$$ d(B, SAC) = \frac{2 \times V_{SABC}}{S_{SAC}} = \frac{2 \times 6a^3}{6a^2\sqrt{2}} = \frac{12a^3}{6a^2\sqrt{2}} = 2a\sqrt{2} $$

c. Tính sin góc giữa mặt SCD và đáy ABCD

Ta cần tìm góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng SCD. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống CD.

Trong tam giác OCD vuông tại O, ta có:
$$ OH = \frac{OC \times OD}{CD} = \frac{3a \times 3a}{3a\sqrt{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{2} $$

Góc giữa SO và mặt phẳng SCD là góc giữa SO và OH. Ta có:
$$ SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{(4a)^2 + \left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{16a^2 + \frac{9a^2}{2}} = \sqrt{\frac{32a^2 + 9a^2}{2}} = \sqrt{\frac{41a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{82}}{2} $$

sin góc giữa SO và OH là:
$$ \sin \theta = \frac{SO}{SH} = \frac{4a}{\frac{a\sqrt{82}}{2}} = \frac{8a}{a\sqrt{82}} = \frac{8}{\sqrt{82}} = \frac{8\sqrt{82}}{82} = \frac{4\sqrt{82}}{41} $$

Đáp số:
a. $ V_{S.ABCD} = 12a^3 $
b. $ d(B, SAC) = 2a\sqrt{2} $
c. $ \sin \theta = \frac{4\sqrt{82}}{41} $

Hình chóp S.ABCD đều, đáy là hình vuông cạnh 3a SO = 4a chiều cao từ S đến mặt đáy Tâm đáy O là trung điểm của AC và BD a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD b, tính d(B(SAC)) c, tính sin[S,CD,O]