vnbbvbnnbc Câu 5: Một bình hoa có dạng khối tròn xoay,được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn,,bởi đồ thị hàm số $y=-\sin x+2$ và trục Ox,(tham khảo hình bên). Biết rằng đáy bình hoa,là đường tròn bán kính 2 dm, miệng bình hoa,là đường tròn bán kính 1,5 dm. Bỏ qua độ,dày của bình hoa. Tính thể tích của bình hoa,theo $dm^3$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn,vị).

Question

vnbbvbnnbc Câu 5: Một bình hoa có dạng khối tròn xoay,được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/2321f87c721447b092fc9ec933342de5.jpg />,bởi đồ thị hàm số $y=-\sin x+2$ và trục Ox,(tham khảo hình bên). Biết rằng đáy bình hoa,là đường tròn bán kính 2 dm, miệng bình hoa,là đường tròn bán kính 1,5 dm. Bỏ qua độ,dày của bình hoa. Tính thể tích của bình hoa,theo $dm^3$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn,vị).

Accepted Answer

Câu 5:
Để tính thể tích của bình hoa, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay. Khối tròn xoay này được tạo thành từ việc quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -\sin x + 2$ và trục Ox.

Bước 1: Xác định khoảng quay
- Đáy bình hoa là đường tròn có bán kính 2 dm, tức là khi $y = 2$, ta có $-\sin x + 2 = 2 \Rightarrow \sin x = 0$. Điều này xảy ra khi $x = 0$ hoặc $x = \pi$.
- Miệng bình hoa là đường tròn có bán kính 1,5 dm, tức là khi $y = 1,5$, ta có $-\sin x + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin x = 0,5$. Điều này xảy ra khi $x = \frac{\pi}{6}$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6}$.

Do đó, khoảng quay của bình hoa là từ $x = 0$ đến $x = \pi$.

Bước 2: Tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành từ việc quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục Ox trong khoảng $[a, b]$ là:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong trường hợp này, $f(x) = -\sin x + 2$, $a = 0$, và $b = \pi$. Do đó:
$$ V = \pi \int_{0}^{\pi} (-\sin x + 2)^2 \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân
$$ (-\sin x + 2)^2 = \sin^2 x - 4\sin x + 4 $$
$$ V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin^2 x - 4\sin x + 4) \, dx $$

Tính từng phần:
$$ \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} $$
$$ \int_{0}^{\pi} 4 \, dx = 4x \bigg|_{0}^{\pi} = 4\pi $$
$$ \int_{0}^{\pi} -4\sin x \, dx = 4\cos x \bigg|_{0}^{\pi} = 4(-1 - 1) = -8 $$

Do đó:
$$ V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 8 + 4\pi \right) = \pi \left( \frac{\pi}{2} + 4\pi - 8 \right) = \pi \left( \frac{9\pi}{2} - 8 \right) $$

Bước 4: Làm tròn kết quả
$$ V \approx \pi \left( \frac{9 \times 3,14}{2} - 8 \right) = \pi \left( 14,13 - 8 \right) = \pi \times 6,13 \approx 3,14 \times 6,13 \approx 19,2 $$

Vậy thể tích của bình hoa là khoảng 19,2 $dm^3$.