Câu 17.
Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A, B, C. Vì A, B, C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz nên ta có:
- A(a, 0, 0)
- B(0, b, 0)
- C(0, 0, c)
Do H(1, 2, 3) là trực tâm của tam giác ABC, ta có các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (ABC) sẽ vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Ta tính các vectơ HA, HB, HC:
-
-
-
Vì H là trực tâm, các vectơ này sẽ vuông góc với các cạnh tương ứng:
-
-
-
Ta tính các vectơ BC, CA, AB:
-
-
-
Áp dụng điều kiện vuông góc:
1.
2.
3.
Bây giờ, ta thay vào :
Ta thấy rằng các điều kiện đã thỏa mãn. Bây giờ, ta tìm phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C:
Phương trình mặt phẳng có dạng . Ta thay tọa độ của A, B, C vào phương trình này để tìm m, n, p:
- Thay A(3c, 0, 0):
- Thay B(0, 3c/2, 0):
- Thay C(0, 0, c):
Ta thấy rằng , , đều là số nguyên, do đó ta chọn để đơn giản hóa:
-
-
-
Tuy nhiên, vì yêu cầu , , là số nguyên, ta chọn :
-
-
-
Vậy .
Đáp số: .